补充资料：二重级数

二重级数
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，帜凡一，，资望2，凡二 二重级数具有一些特殊性质，是由于它存在二重指标项.如果二重级数(l)收敛，而且对于一切n二1，2，…，级数 艺u。。 附=1也收敛，则累次级数 暑巨一」也收敛，其和等于给定级数的和. 一个二重级数称为绝对收敛的(a忱olutely con说卜罗ni)，如果级数 艺lu，。l m.”=l收敛.如果一个二重级数是绝对收敛的，则它也是收敛的;而且，把它的各项重新排列后所得到的级数也是收敛的，这时任何这样的级数的和，都与原级数的和相同. 通常的函数项级数的许多概念和性质，对于二重函数项级数来说，也都存在，其中包括一致收敛的概念，级数一致收敛的Quchy准则或一致收敛的职况记卜stn贬舀准则.但是，关于通常级数的许多定理不能直接应用于二重级数.例如，与幂级数 艺气x” ”二0的A目定理(Abelt坛”民m)类似定理不能直接应用于二重幂级数，即形如 艺气，x“夕”(3) m，月=0的级数. 例如，存在仅在平面的两点上收敛的二重级数(3):具有系数 c0。=几。=一cl，“一c，一=n!，”=l，2，二‘， 气。=0，m，n)2的级数(3)仅在两点(0，0)和(1，l)上收敛. 除了关于级数(l)的定义(2)以外，还存在另一些与它的通项的二重指标相关的二重级数收敛性及其和的定义.例如，设 S，一。再、，u川一，一‘，2，…(凡称为二重级数(l)的手年形邵分积(triaJ嗯harPar-蒯sUIn));如果数列王凡}收敛，则二重级数(l)称为收敛的;它的极限 “一悠凡称为级数(l)的三角形和;如果设 S=犷。__.r>O 衬+。2簇rZ(S.称为卿形娜分和(d陀“以rp耐sUIn”，这时，如果参数，的函数Sr当;~十的时具有极限，则二重级数(l)称为收敛的;这个极限 S=r呱Sr称为级数(l)的圆形极限. 设才表示指标对(阴，摊)的任意有限集，并且设 s，一艺。.、. (用，厅)〔这时.数S称为级数(l)的和(s山m)，如果对于任何。>0，都存在指标对(m，的的有限集人，使得对于一切了。人，不等式!S一S}<。成立.如果这样的数S存在，则称级数(l)是收敛的. 上面列举的这些级数(l)的收敛定义彼此并不等价.但是，如果二重级数的各项是非负的，那么只要它在上述一种意义下收敛，在其他各种意义下也收敛.对于二重级数，有各种不同的求和法. 二项级数的概念可以推广到级数的项不是数而是(例如)线性赋范空间中的元素的情况.二孟级数【d阅晓既6昭;汉.0‘。o.p二八] 级数 。藻lu，一(;)它的项气。伽，n=1，2，二〕形成二重数列.有限和 凡。一菩属“。称为二重级数(l)的部分和(part词suln)或者它的矩形部分和(rectang山r partial suln).它们也形成二重数列.如果数列{凡。}具有有限的二重极限(dou-bleb而te) S=。妙笑凡一(2)则级数(l)称为收敛的(conVe晖nt)，而数S称为它的和(suln): .刃 s=艺。川。. m月度l如果不存在有限的极限(2)，则级数(l)称为发散的(di凭卿nt).二重级数具有通常的(简单)级数的许多性质.例如，如果二重级数 艺气，，艺戈。 用，.二1附，内=l收敛，则对于任何两个数又和拜，二重级数 艺(几a川。+拼b。。) 附，月巴1也收敛，并且 ‘，藻，(‘、·+;气·)一“，莱，气·+气莱，气二如果一个二重级数收敛，则有 。妙二。，。一。(级数(l)收敛的必要条件).为使二重级数(])收敛，其必要和充分条件是:对于任何。>0，存在数从，使得当，，n>从时， j凡十*.。十，一凡。l<。成立，其中k和l是任意非负整数.如果级数(l)的各项都是非负的，则其部分和凡，的序列总是具有有限的或无限的极限，并且

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