补充资料：Ляпунов特征指数

Ляпунов特征指数
Lyaptmov characteristic exponent

　　瓜uy“0.特征指数〔L担，翻.v charaCteristice%脚.破;加nyooea xapa盯epoeT“，ee以曲no从a3aTe月1.1，线性方程组的解的 上极限、，〔，)一:画。号，·}X(。)!，这里x(t)尹0是线性常微分方程组 义=A(t)x(l)的解;其中义‘R”，A(·)为映射R~Hom(R”，R月)，它在每个区间上可和.用坐标表示， x(t)二(x’(t)，…，x”(t))， 又‘一，答.a}(‘川，，一1，…，。，这里“{(t)是在每个区间上可和的函数，且 };一厚万〕2 \/:梦‘(或任何其他等价的范数;又、(t)与R”或C”中的范数选取无关). 月，卿HoB定理(L界punov theorem)，假设 丽生一 亡一+。t等价地， 反令丁.aj(·，，“·<+的，‘，，一’·“‘，”· 0这时，对于方程组(1)的任意解义(t)笋0，月，叮HOB特征指数几，(t)为实数(即拼+的).对于(1)的非零解的卫，nyHoB特征指数，下列论断成立: l)又:、(，)=又、(;z，:笋o; 2)又二.(;)+二2(:)‘Inax(兄二;(，)，兄，:(。)); 3)存在(l)的线性无关解组，记为{x.(t)})一，，使得对(1)的任意按JI:nyHoB特征指数降序排列的，:个线性无关的解交(t)，i=1，…，。(即又、(，))又;j(‘)，对i成j)，下列不等式成立: 几*(‘))又，.(，)，i=l，…，”，具有此性质的基本解组门bndan℃nta!systeln of sotu-tio“){x‘(t)}罗一，称为平攀的(normal)·这样的正规解组有如下性质: a)数族又汉A)二礼(i)，i二l，…，。，与正规基本解组的选取无关; b)对(l)的任意解x(t)笋o，其几，nyuoB特征指数久二(l)与某个几‘(A)相等; e)几(A))几，(A)‘i石2. 数之，(A))…)又。(A)称为系统(l)的几，ny-HOB特征指数;数又，(A)常称为(l)的首项瓜ny-HoB特征指数(b、ding LyaPunovc玩口Cte血tic expon-eni). (l)的所有非零解的刃只nyHoB特征指数的集合称为谱(sPect~)·特殊情形.1)常系数系统(即A(t)兰A(0)).在这种情形下，又‘(A)与算子A(0)(矩阵““;lI)的本征值的实部相等. 2)具有周期系数的系统(即A(t十T)=A(t)，T>0).在这种情形下， 、(，)一粤。I。，{， T一。.、，这里“，是系统(l)的乘子(multiPliers)，按照它们模的不增序排列(每个取其重数次). J’I，叮HoB特征指数在JlnnyHoB稳定性理论中的作用以下列断语为基础:如果又t(A)<0(>O)，则(l)的解渐近稳定(相应地，不稳定，见渐近稳定解(asylnPtotically一stable solution)).不能从又1(A)<0推出系统 戈二A(t)x+O(}x}’)的零解JI，nyHoB稳定;但如果还知道系统(l)为正则线性系统(阅山ar石n伐甘s”把m)，则此结论成立(JI月IlyHoB定理). 假设系统又=B(t)x是由满足条件 sup}}A(t){4<+的 艺〔R的系统(1)经过一个小扰动得到的;即它们之间由式 己(通，召)=s叩l}通(r)一B(t)}l，(2) IER定义的距离很小对n>1，这并不意味着量 {兄;(A)一兄1(B)}很小(如果系统(1)具有常系数或周期系数，及对于某些其他系统，这是成立的);换句话说，泛函凡.(A)在系统(1)(s叩，。，IIA(t)}l<+的)的赋予度量(2)的空间中不是处处连续的. 几，ny“。B特征指数是由A. M.几皿ny”OB引进的，它不仅适用于系统(l)的解，还适用于R千上的任意函数(见「l」).【补注】现在，JI，llyHOB(特征)指数可以用于更广的范围，见综述[A6]‘首先，矩阵A可以是与时间有关的随机函数.几:叮noB指数也应用于以奇怪吸引子(s协汕罗attr即tor)(或排斥子):(t)为极限解的非线性微分方程组 交=f(x)，x=(x’(r)，…，x”(t))的有关问题，见「A7}.对s(t)线性化的系统具有形式(l)，其中 f叮，，。，、、) A(t)=之一井二(S(t))卜 走刁x，‘一、一‘’J〔。，，，’这里有一个指数为0.若出现一个或更多正指数，则表明s(t)为奇怪吸引子.对于保守系统来说，几，ny-HoB指数之和为O，而对耗散系统则为负.奇怪吸引子的容量(capacity ofs加1】邵at加湘tor)D是一个与Hausdo币维数有关的分数.J .L .KaPlan和J .H.Yorke作了如下猜想: D一、一土艺、，， 礼十1.荀”’其中0<艺了一、‘<一、，十、(、，)…)*。). 几凡nyHoB指数的概念可以推广到非线性随机系统，以及迭代映射 x(t+1)=A(t)x(t)，见【A6』和〔A7]. 对于更一般的确定性系统，设X为Hi】bert空间H的紧子集，f:X~H为满足f(X)=X的映射.假定映射f满足下述一致可微性条件:对每个x任X，存在一个紧线性算子L(x):H~H，使得当。~O时 。，，_!{f(y)一f(x)一乙(x)(夕一x)!}_n 泛叩理~~一镯‘护或{什生一~一”，这里肠·“表示H中的范数，且对于满足0<}}x一川}蕊。的所有x，y取上界. 对紧线性算子L，设::(L))::(L)·)一为(L’L)”2的本征值.对每个正整数d，设田‘(L)二::(L)…:d(L)，而对非整的正实数d=n十s，O　　

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