补充资料：Hill方程

Hill方程
Hffl equation

【补注】形如Q=护十q的算子称为托u算子(H诩op叮勺ator)，其中q是周期函数.设q的周期为1 .Q的周期谱(卿初记s详以rum)和反周期谱(anti一伴改劝cs，戈.让切旧)(或半周期谱(~一伴泳对沁sPeCtrum))可由解Q介犷和f(x+l)=士f(x)得到.这些谱由一个简单周期基态又。，接着是单重的或双重特征值 凡<又，簇又2<又3(又;<…的交替的反周期对和周期对所构成.区间(一的，而)和比卜:，儿‘]称为字哼伽以川ae)或回嚎(，ps)·这个术语来自这样一个事实，即考虑为作用于几(R)上的Q的谱是在这些区间的并集的闭补集中. H川算子和它的谱数据的研究在解(周期的)K川晚雌一血V6留方程(Ko血叭旧g一dev幻。叫皿don)的逆散射法(m丫erse劝tte比唱业t址对)中很重要.这里，一个关键的结果是Bo堪定理(Borg thco咖)，该定理指出‘势q能从周期和半周期谱，辅助谱(au挤血印s详以rum)(它由解Q介可，f(0)=f(l)=0得到)，以及从有关的本征函数得到的某些规范常数而得到恢复.更多的详情见走AZI.户‘位于间隔之中，从任[又2卜:，几2小i=l，2，·… 在[A3]中，名词助电牟粤指的是不同的结果，它属于“共存性问题”的范围，即确定周期为1和2的两个线性无关的周期解何时能共存的问题(见【A3]，第2.6节). 关于周期谱和反周期谱的相对位置的结果，以及关于在不同的区间上Qy二兄y的解的稳定性的相应叙述，一起称为振动定理(倪d曲由nth印附).H扭方程[H皿月啤位粗;X，朋a yp~朋el 带有周期函数P(z)的二阶常微分方程 w“(z)+P(z)w(z)二0:其中所有的童都可以是复数.方程以G.H妇1(【l])命名，他在研究月亮的运动中获得带有实数00，氏，…，的方程 ·、·卜卜·2叠。2 rcoSZr·)W(·卜。，其中级数艺二1}氏，}收敛. Hm利用无限阶行列式给出了解这个方程的一种方法.这是建立这种行列式理论以及后来由E.Fmdi犯加建立的积分方程理论的起源(见R司胶触.定理(F代沮-加如山印托泊书)).对于H山方程，最重要的是解的稳定性及周期解存在与否的问题.如果在实数情形下，在Hjll方程中引进参数: x’‘+又P(t)x=0，那么，在12]中A.M.几朋yHo”得到，存在一个无限序列 …<又_，(又。=0<又，簇凡<…<又2，一，(几2。<又2。+，蕊…，使得对于又钊几、，又2。十1)H川方程是稳定的而且对于又e以2。一:，丸月是不稳定的.这里又，和又4，+3是周期边值问题的本征值，又4。+:和又，十:是半周期边值问题的本征值.对F团方程的研究已很充分了(见【3J).

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