补充资料：多面体的同调

多面体的同调
homcdagy of a polyhedron

多面体的同调[饭..叭盯ofa州yI.曲加;roMo二or.。no几11呱Pa] 拓扑空间为多面体时的同调论(比住幻fogyU长。ry)(见多面体(加lyb曰xon，翻tract)).多面体的同调首先出现在H .Poi~德(1895)研究E公Ijd空间里的流形的工作中.他考虑已给流形中的r维闭子流形，看作r维闭链或循环.若这个流形包含一个有边界的(r+l)维子流形以所给的闭链为边界，那个闭链就称为在该流形中同调于0.比如，一个圆周与另一同心圆周共同构成一个环形域的边界、在这个环形域中不同调于0，而一个圆周如果是环形域内一个圆盘的边界，则在环形域中同调于0.Po而班感将原先解析定义的流形概念，用由单形(s加plex)与边界所共同构成的早形(印帅h)来代替.这种方法可以用来研讨任何可剖分为单纯复形(simPlic过。娜晓x)的空间上的同调，也就是那种可以看作直的多面体的空间，或它们的同胚象一弯曲多面体.闭链以及它们的同调等的几何意义仍然可以保持.于是，1维闭链就是一个封闭的折线段，它的每个线段是一个1维单形.如果它是该复形中某2维子复形的边缘，则同调于零.两个同样维数的闭链互相同调假如它们共同构成该已给复形的一个子复形的边缘.这是一个等价关系，将所有同一维数的闭链分成等价类.在类中任意取代表闭链，定义两个类的和为两个代表闭链之和的类，则在全体类上定义了加法，从而引人了代数结构.引人行进的方向，即定向单形，可得到每个类的逆，将这些直观概念给以严谨的说明就可定义多面体同调群的概念. 设已给多面体尸的一个三角剖分(此哩幽t沁n)K以及交换群G.复形K在系数群G上的一个r维链是一个函数cr，它对于K的每个定向的尸维单形tr对应以G的一个元素，仅对K中有限多个单形此对应值非0;并且er(一t『)二一气(t‘).使r维链如同线性形式那样相加，得到K关于系数群G的r维链群，它显然是交换群，cr(K，G).从单形的边缘概念出发，按可加性而定义链的边缘，得到同态 日r:Cr(K，G)~C，一1(K，G).满足己一，己二0，以及链复形 {Cr(K，G)，口小链c，称为印擎(。心e)，假如它的边缘是0链.己g=0.闭链;称为今攀的(boullding)，假如K上有(r+l)维链e，*，使得zr=刁，、Ic，+;.同态日，的核，也即全体护维闭链构成的群z，(K，G)，包含有同态认+，的象，也即r维边缘全体所构成的子群B，(K，G).Z，(K，G)关于Br(K，G)的商群从(K，G)就称为K在G上的r维同调群.由于可以证明P的所有三角剖分给出同构的以G为系数的，维同调群，它们可以取作多面体尸关于系数G的r维同调群(r~din℃nsio钊al加n幻】。gygro叩)Hr(P，G).按万有系数定理，关于任意系数群G的同调H，(p，G)可由整数加群Z上的同调群Hs(P，Z)决定.不仅如此，若多面体为有限，则整系数同调群为有限生成的交换群，从而有数值不变量的一个完全系—血川数(价ujn扭n1比r)与挠系数，即群耳(P，Z)的秩与挠系数.

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