补充资料：本征值的完全问题

本征值的完全问题
complete problem of eigen values

本征值的完全问题【~Pletep叻lem of eigen祖ues;no二a:nPo6月eMa eo6eT.e“”翻氏3oa，eo.益1 计算通常为实或复方阵的所有本征值的问题(区别于本征值的部分l’q题(partial problem of ei罗n values))·不仅需要计算本征值，而且经常要造出由矩阵的本征向量或根(主)向量组成的一组基. 矩阵A的本征值完全问题的解决从理论上说等同于造出该矩阵的本征多项式化，并求出它的所有实或复根(这个事实使得用有限计算过程求所有本征值成为不可能).对每个本征值又，从齐次线性方程组:(A一又E)x=0(E为单位矩阵)可以确定出对应的本征向量.在复数域上的计算中，存在由本征向量组成的基的一个充分条件是谱的单纯性，而一个必要与充分条件是每个本征值又的代数重数(即作为本征多项式化根的重数)重合于它的几何重数(即矩阵A一又E的亏量).如果要去计算重数(阶)超过1的根(主)向量，那么必须考虑如下形式的齐次方程组 (A一又五)kx=0，keN，k>1.按这个方案，一直到20世纪40年代末才构造出求解本征值完全问题的一些数值方法.在20世纪30年代，依系数计算矩阵的本征多项式的高效率(关于算法运算量)的算法业已产生.例如，在及a~留红成方法中，n阶矩阵的本征多项式的计算包含有量级大约为矿的乘法运算(见【l」，【2」). 在这一组中的方法已被命名为直接法或精确法，这是因为如果执行精确的算术运算，那么它们将给出本征多项式诸系数的准确值.一直到数字计算机诞生之后，对任意相当大阶数的问题，才能测试带有舍人误差的真实计算的具体情况.这样的试验已在20世纪50年代进行，结果表明，某些直接法完全偏离了数值的实际情况.用这些方法计算本征值时，存在有导致灾难的不稳定性，其主要原因有两个.首先，在大多数的精确法中，本征多项式的诸系数直接或间接地由一个线性方程组解的分量来确定，而方程组的系数矩阵的各列是由向量v，Av，…，才一Iv逐步建立的，这里，v是方法中的初始向量.这样的矩阵通常处于很差的状态，这可从如下事实特别明显地看出:这些列向量的长度通常是很不同的，且n越大，差异也越大.因此，本征多项式的系数计算一般伴有很大的误差.其次，多项式根的计算常是数值不稳定的.关于这方面问题，如下例子值得注意(见【3]):如果在多项式 P(x)=(x一l)(x一2)…(x一20)= =x20一Z10xlg+…中变更x’9的系数一210到一210十2一2，，那么，扰动后多项

[1] [2] [3] [4]  下一页

说明：补充资料仅用于学习参考，请勿用于其它任何用途。