补充资料：函数演算

函数演算
functional calculus

函数演算【几理山..。习。.璐冲y。哪ooa~oe oe，姗-。，e」 从某个函数代数(司罗bl飞连offL川ctions)A到一个拓扑向量空间X上的连续线性算子的代数L(X)中的一个同态.函数演算是一般谱分析和确naeh代数理论的基本工具之一，它使人们能把函数解析方法应用于这些学科.通常，A是空间C”中的某个子集K上的拓扑(特别地，赋范)函数代数，它包含了变量zl，…，了的多项式(常常是A的稠密子集)，这样一个函数演算明A~L(X)就是交换算子不=职仁)(1蕊i簇n)的多项式演算p(:‘，…，:”)~p(不，二，双)的一个自然的延拓;此时就说集合T=(不，…，双)有一个A演算(A一calcul璐)并且记甲(T)=f(T)=f(不，…，兀).算子T的一个A演算是一种谱定理，因为对应“一<价(a)x，x‘>定义了一个与T可交换的弱算子值A分布，这里xCX，x‘6X’，<，)是x和x’之间的对偶. 经典的vonNeu叮坦nll一Mtln刁y一DLmlb川函数演算(A二C(K)，X是一个自反空间)导致一个算子(投影)谱测度(spec阔m已滔毗) “一“·:f‘:，…，Tn)一Jf、。. Riesz一Dull【b已函数演算(。=l，A“Hol(叮(T))，即在算子T的谱。(T)上的所有全纯函数)导致公式 ，(T，一命丁f(、)R(*，T)。，其中R以，T)=(又I一T厂’是T的预解式(心ol慨t)，7是把。(T)包围在其内的围道且f在其上是正则的.后一类型的多变量(算子)公式依赖于Hol(以T))上的线性泛函的概念和定义集合T=(不，…，双)的联合谱，(T)的方法(函数演算的容量也依赖于，〔乃的定义). 如果T是一个谱算子(spec喇operator)，S和N分别是它的标量和拟幂零部分，并且如果f6 Hdl位(助，那么公式 f(乃一蕙子。)、厂·呱能把对T的R此z一Dunford函数演算推广到一类更广的函数上去，其中。是T的单位分解(r巴通ution of theiden〔妙).特别地，如果入‘’=O，那么了’在m次连续叮微函数类Cm(以T))上有一个函数演算.如果T是一个标量型算子，那么可以把可T)上的有界Borel函数代到这个公式中.特别地，Hilbert空间上的正规算子有一个这样的函数演算.反过来也是对的:如果算子T有一个这样的函数演算(对自反空间中的算子只要假设在连续函数类上有一个函数演算)，那么T是一个标量型的谱算子(在E目bert空间中，这是一个与正规算子相似的线性算子). 在汇5]中对其预解式在谱的附近充分缓慢增长的算子构造了非解析C{从}演算;这个演算是建立在Car]匕nan类C({从}，。(T))(见拟解析类(quasi一ana-1如ce饭骆))上的并且使用公式 f(r，一专汀器(A)“(l，T，骊，其中了是所谓函数f穿过谱以刀的边界的J延拓，即一个在C中有紧支集的C’函数，满足条件 ，_了.{互‘;、{、。，.“，月;。，‘。。、、 f=f}。‘:、，1云奢以)!乓常数·h，、‘，(edist以，K)). ”“，，}刁了、一’}一”‘一”‘，‘，‘一、“’一‘’-这里 嘉一合「兴一哥」， 一从 h{、}(r)一丫r”一’计，并且算子T满足. l1R‘“，T、降「聋鲤鲤些里擎1. L{l呢djst(又，K)j」-另一方面，算子多项式P(T)的界导致(比Hol(a(T)))更广泛的演算.例如，如果X是一个H口bert空间，那么均nNeuIT旧nn一He云反不等式}}夕(T)}}簇Inax{}P(睿):l省}落J J T JJ}导致S苗kefalvi一Na留一Fo此函数演算(A是在圆盘{心‘C川着沐l}上全部有界解析函数的代数，T是没有酉部分的一个压缩)，它在压缩算子的函数模型理论中有许多应用.关于对称函数空间的铂n卜殆以“团1们-He江比不等式的一个类似提供了一个(对应于卷积空间(「8J))用乘子表述的函数演算. 应用.一个算子T具有的函数演算的类型在线性相似性T~V一’TV下是不变的，并且能成功地用来对算子进行分类.特别地，有一个所谓A标量算子(A-scalaro详阳to招)的广泛的理论，它可以应用到许多算子类并且不限于经典谱理论的范围.作为函数演算的成功的使用，最好举所谓谱映射定理: a(f(T))=f(。(T))，f任A.这样的定理已被证明对上面列举的所有函数演算都是正确的(只要对公式的右边作一个适当的解释即可). 如果代数A含有一个精细的单位分解(例如，如果A=C勺，那么可以从A函数演算来构造一个局部谱分析，并且，特别地，可以证明算子T的非平凡不变子空间的存在(如果口(T)不止含有一个点);(B赶nach空间中的)一个其谱位于光滑曲线下上，并且满足9109十log十。(r)dr<的的算子T就是一个例子，这里占(r)=max{{}R以，T)!}:叔以，r)〕r}.局部分析的一个推论就是关于幂等元的m即oB定理([2l).【补注】关于多变量解析函数演算的系统论述见[A 1].

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