补充资料：依赖于参数的积分

依赖于参数的积分
parameter - dependent integral

　　依赖于参数的积分〔挤叮出理姗一山衅司曰tin魄间;3a-叨c皿川戚oT naP明eTPO.“n代印幼」 如下形式的积分: J(夕)一丁、(、，夕)dx，其中点笼二(x.，xZ，…，x。)遍及空间R”(若点仅遍及某区域DC=R”，则可假设，当x任R”\D时，f(x，y)=0)，而点y=(夕，，…，y，)代表参数y，，…，夕，，的一个点集，它们在空间R用的某区域G内变动. 研究这类积分的主要目的，是要找出使J(y)关于参数夕、，一，夕。连续与可微的条件，如果把J(y)理解为I劝峨卿积分(h比sgueinte脚!)，则可得到使它连续与可微的较弱条件.下面的两个命题成立. 1)若对几乎所有的x〔R”，f(x，y)在区域GCR川中关于y连续，并且还存在R”上的可积函数g，使得对每个y任G和几乎所有的x〔R”，有不等式}f(x，夕)}(g(x)，那么J仕)在G中连续. 2)设.f(x，t)是对x〔R”，r〔(a，b)有定义的函数.假定导数刁f(x，t)/拟对几乎所有的x任R”和每个阵(a，b)都存在.而且对几乎所有的x‘R月，在(“，b)上是t的连续函数.再设存在R”上的可积函数g，使得}口f(x，t)/毋{成g(x)对一切任(“，b)和几乎所有的x‘R”成立.最后，还假设对某个r。6(a，b)，积分 丁，(、，:〔、)J二存在.这时函数 J(。)一丁，、x，:)己x在(a，b)上关于t是可微的，并且它的导数J’(t)可以通过在积分号下求导而得到: J，(:卜丁兴(x，。)dx· 上述两命题包含了将含参数积分理解为RieIT坦nn积分或更特殊情形的有关连续性与可微性的一系列简单命题(见[2]一[4])， 依赖于参数的反常积分.对于最简单的第一类反常积分(叨proper integ飞11) J(。)一丁，(x，。)d、，(·)引人关于参数t在闭区间c簇t(d上一致收敛的概念.如果对任意正数￡>0，存在一个正数A(目>O，使得当R)A(的时， }r沂‘二.。)J二}、。. {RI就称积分(，)在l。，d]上关于t是一致收敛的. 下面的命题成立: a)如果f(，，r)在某半带状区域[a成x<的，。成t簇d]上连续，且积分(*)在【c，d]上关于t一致收敛，那么J(约在f。，d]上连续. b)如果f(x，t)及其导数日f(x，t)/口。在某半带状区域[a簇x<的，c簇t簇们上连续，且积分(.)对某个t‘Ic，d」收敛，此外再设积分 「互(、.。、J二 尸叙一，，__在【。，d]上关于t一致收敛，那么积分J(t)在l。，d]上是可微的，其导数可用下式计算: ;，，，、二f互‘、，、、， 寸刁t‘类似的命题对于第二类反常积分也成立.【补注】上述命题均为玩比sgue控制收敛原理的简单推论(见1无悦月歹.定理(U比sgtle tl丫旧~)2)).
　　

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