1) numerical solution of differential equations
微分方程数值解法
1.
Using Matlab to assist the teaching of numerical solution of differential equations;
应用Matlab辅助微分方程数值解法教学
3) numerical analysis method of ordinary differential equation
常微分方程的数值解法
1.
The optimal control method to analyze the stability of soil slopes is presented by combining with finite element method, theory of limit equilibrium, numerical analysis method of ordinary differential equation and theory of optimal control.
结合有限元法、极限平衡理论、常微分方程的数值解法和最优控制理论等,提出用于土坡稳定的最优控制分析法。
5) numerical algorithm on ODEs
常微分方程数值解算法
补充资料：超越方程数值解法
当一元方程??(z)=0的左端函数??(z)不是z的多项式时，称之为超越方程。这类方程除极少数情形（如简单的三角方程）外，只能近似地数值求解，此种数值解法的研究至今仍是计算数学的主要课题。超越方程的数值解法也适用于代数方程。
数值求解超越方程时首先需要确定解的分布区域，它可以利用图解法或者根据??(z)的解析性质来确定。当??(x)为实函数时，确定方程实根的分布的最常用方法是应用连续函数的中值定理：如果实的连续函数??(x)在区间[α,b]的两个端点的值异号,则??(x)在此区间内至少有一个根。
二分法 利用中值定理计算实函数实根的简单易行的方法，算法如下：
设区间[α0,b0]满足条件??(α0)??(b0)<0，[α0,b0]的二等分点为计算??(x0)的值,若??(x0)=0，即为所求解;若??(x0)??(α0)<0，取α1=α0,b1=x0作为新的区间端点;若??(x0)??(α0)>0,取α1=x0,b1=b0作为新区间的端点。[α1,b1]的二分点为计算??(x1)的值并重复上述步骤以确定新的区间[α2,b2]，如此继续下去。则得到区间序列 [αk,bk](k=0，1,...)，它满足??（αk）??（bk）<0，并且当bk-αk达到指定的精确度要求时,则取为方程的解,它与精确解的误差不超过
迭代法 解超越方程的主要方法，既适用于求实根，也适用于求复根。使用这类方法时一般需要知道根的足够好的近似值。最常用的方法有牛顿法、割线法、二次插值法、双曲插值法、切比雪夫迭代法、艾特肯δ2加速方法和斯梯芬森方法等。
牛顿法 也称切线法，其计算公式为z0为事先选定的根的初始近似。设z为 ??(z)的根，若??(z)在z的某邻域内二次可微,且??┡(z)≠0,则当z0与z充分接近时，牛顿法至少是二阶收敛的,即当k充分大时有估计式成立,C为确定的常数。一般说来，牛顿法只具有局部收敛性，即仅当初始近似与根充分接近时才收敛。但是，当??(x)为实函数，且于[α,b]上??┡(x)和 ??″(x)不变号时，若??(x)于[α,b]上有根，则只要初始近似x0满足条件??(x0) ??″(x0)>0,牛顿法就收敛。一般情形，为减弱对初始近似的限制，可利用牛顿下降算法，其算式为
ωk>0为迭代参数,由条件│??(zk+1)│<│??(zk)│确定，牛顿法的k+1次近似 zk+1是??(z)在zk处的泰勒展开式的线性部分的根。
割线法 又称弦位法，其算式为
z0、z1为初始近似。若??(z)于其根z的某邻域二次连续可微,且??┡(z)≠0,则z0、z1与z充分接近时,割线法收敛于z,并当k充分大时有估计式式中C为常数,割线法的k+1次近似zk+1是以zk、zk-1为插值节点的线性插值函数的根,如果利用更精确的近似表达式则可构造出更高阶的迭代法。
二次插值法 亦称缪勒方法，是利用二次插值多项式构造的迭代算法。设已确定了zk、zk-1、zk-2,则zk+1就取为以 zk、zk-1、zk-2为节点的二次插值多项式两个根中与zk最接近者，其算式为
式中"±"号选成使分母的模为最大者,而－
式中 当分母为0，则λk=1。
双曲插值法 利用线性分式插值构造的迭代算法，其算式为
式中μk、δk、Δzk和??k的意义与二次插值法相同。
若??(z)在其根z的某邻域内三次可微,并且z0、z1、z2与z充分接近，则二次插值法和双曲插值法均收敛。此外，如果??┡(z)≠0，对充分大的 k，有估计式 式中 C为确定常数，τ为方程式t3-t2-t-1=0的惟一正根，τ＝1.839...。
切比雪夫迭代法 三阶收敛的方法，其算式为
当??(z)在其根z的邻域内三次可微且??┡(z)≠0时，对充分大的k，有C为确定常数。
艾特肯δ2加速方法 提高迭代法收敛速度的有效算法，设{zk}为迭代序列，δ2加速的算式为
若??(z)在其根z处充分光滑，且??(z)≠0,则对充分大的k,有并且若zk是p(p>1)阶收敛，即C0均为常数。当??┡(z)=0时也有加速作用。此算法可以循环使用。
斯梯芬森方法 不算微商而二阶收敛的方法，其算式为 它可由迭代算法循环使用 δ2程序导出。
所有的迭代法用于求重根（即??┡(z)=0）时, 其收敛速度将变慢，收敛阶将降低。
为求得达到所需精度的解而花费的代价是评价迭代法优劣的依据，效能指数是其重要指标，它定义为p1/寶，p 为收敛阶，μ 为每步需要计算的函数值和微商值的总数。效能指数越大，说明方法越好。二分法及上述各种迭代法的收敛阶（单根时和重根时）和效能指数如表。
只有当初始近似与解充分接近时，迭代法才收敛，这是所述算法的共同特点。减弱对初始近似的限制是提高迭代法有效性的重要措施，例如，牛顿法中引进下降因子。对一些特殊函数类（如单调函数，只有实根的解析函数等）的大范围收敛迭代算法也有一些研究工作。
参考书目
A.Ostrowski,Solutions of Equations in Euclidean and Banach Spaces, 3rd ed., Academic Press, New York, 1973.
J.F.Traub,Iterative Methods for the Solution of Equations, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1964.
数值求解超越方程时首先需要确定解的分布区域，它可以利用图解法或者根据??(z)的解析性质来确定。当??(x)为实函数时，确定方程实根的分布的最常用方法是应用连续函数的中值定理：如果实的连续函数??(x)在区间[α,b]的两个端点的值异号,则??(x)在此区间内至少有一个根。
二分法 利用中值定理计算实函数实根的简单易行的方法，算法如下：
设区间[α0,b0]满足条件??(α0)??(b0)<0，[α0,b0]的二等分点为计算??(x0)的值,若??(x0)=0，即为所求解;若??(x0)??(α0)<0，取α1=α0,b1=x0作为新的区间端点;若??(x0)??(α0)>0,取α1=x0,b1=b0作为新区间的端点。[α1,b1]的二分点为计算??(x1)的值并重复上述步骤以确定新的区间[α2,b2]，如此继续下去。则得到区间序列 [αk,bk](k=0，1,...)，它满足??（αk）??（bk）<0，并且当bk-αk达到指定的精确度要求时,则取为方程的解,它与精确解的误差不超过
迭代法 解超越方程的主要方法，既适用于求实根，也适用于求复根。使用这类方法时一般需要知道根的足够好的近似值。最常用的方法有牛顿法、割线法、二次插值法、双曲插值法、切比雪夫迭代法、艾特肯δ2加速方法和斯梯芬森方法等。
牛顿法 也称切线法，其计算公式为z0为事先选定的根的初始近似。设z为 ??(z)的根，若??(z)在z的某邻域内二次可微,且??┡(z)≠0,则当z0与z充分接近时，牛顿法至少是二阶收敛的,即当k充分大时有估计式成立,C为确定的常数。一般说来，牛顿法只具有局部收敛性，即仅当初始近似与根充分接近时才收敛。但是，当??(x)为实函数，且于[α,b]上??┡(x)和 ??″(x)不变号时，若??(x)于[α,b]上有根，则只要初始近似x0满足条件??(x0) ??″(x0)>0,牛顿法就收敛。一般情形，为减弱对初始近似的限制，可利用牛顿下降算法，其算式为
ωk>0为迭代参数,由条件│??(zk+1)│<│??(zk)│确定，牛顿法的k+1次近似 zk+1是??(z)在zk处的泰勒展开式的线性部分的根。
割线法 又称弦位法，其算式为
z0、z1为初始近似。若??(z)于其根z的某邻域二次连续可微,且??┡(z)≠0,则z0、z1与z充分接近时,割线法收敛于z,并当k充分大时有估计式式中C为常数,割线法的k+1次近似zk+1是以zk、zk-1为插值节点的线性插值函数的根,如果利用更精确的近似表达式则可构造出更高阶的迭代法。
二次插值法 亦称缪勒方法，是利用二次插值多项式构造的迭代算法。设已确定了zk、zk-1、zk-2,则zk+1就取为以 zk、zk-1、zk-2为节点的二次插值多项式两个根中与zk最接近者，其算式为
式中"±"号选成使分母的模为最大者,而－
式中 当分母为0，则λk=1。
双曲插值法 利用线性分式插值构造的迭代算法，其算式为
式中μk、δk、Δzk和??k的意义与二次插值法相同。
若??(z)在其根z的某邻域内三次可微,并且z0、z1、z2与z充分接近，则二次插值法和双曲插值法均收敛。此外，如果??┡(z)≠0，对充分大的 k，有估计式 式中 C为确定常数，τ为方程式t3-t2-t-1=0的惟一正根，τ＝1.839...。
切比雪夫迭代法 三阶收敛的方法，其算式为
当??(z)在其根z的邻域内三次可微且??┡(z)≠0时，对充分大的k，有C为确定常数。
艾特肯δ2加速方法 提高迭代法收敛速度的有效算法，设{zk}为迭代序列，δ2加速的算式为
若??(z)在其根z处充分光滑，且??(z)≠0,则对充分大的k,有并且若zk是p(p>1)阶收敛，即C0均为常数。当??┡(z)=0时也有加速作用。此算法可以循环使用。
斯梯芬森方法 不算微商而二阶收敛的方法，其算式为 它可由迭代算法循环使用 δ2程序导出。
所有的迭代法用于求重根（即??┡(z)=0）时, 其收敛速度将变慢，收敛阶将降低。
为求得达到所需精度的解而花费的代价是评价迭代法优劣的依据，效能指数是其重要指标，它定义为p1/寶，p 为收敛阶，μ 为每步需要计算的函数值和微商值的总数。效能指数越大，说明方法越好。二分法及上述各种迭代法的收敛阶（单根时和重根时）和效能指数如表。
只有当初始近似与解充分接近时，迭代法才收敛，这是所述算法的共同特点。减弱对初始近似的限制是提高迭代法有效性的重要措施，例如，牛顿法中引进下降因子。对一些特殊函数类（如单调函数，只有实根的解析函数等）的大范围收敛迭代算法也有一些研究工作。
参考书目
A.Ostrowski,Solutions of Equations in Euclidean and Banach Spaces, 3rd ed., Academic Press, New York, 1973.
J.F.Traub,Iterative Methods for the Solution of Equations, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1964.
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