补充资料：Plancherel公式

Plancherel公式
Plancherel formula

　　Plal司阮代I公式「n巨创峭旧而训山;n月叨眼Pe朋咖p-M3”al 表述在空间L:(X)上，内积(innerp代过uCt)在F以幻“变换(Founertl妞nsform)下保持不变的公式二 丁.厂!(，历而‘;之(，)一丁，:、、仄石，、;(X). YX在经典的情形，上式中的X=y二R”是月维Euc]记空问，拜恤)和，‘(y)表示。维玫b荡g飞姆测度，而L:(R”)上的Fo欲r变换 f(x)!‘.厂(y)是经典Founer变换 。r二)。，a(，卜一李一f。(二、。，、二，)、二. 吸乙7t皿‘一‘ g‘L，(R”)，戈=(x，，…，x。)，夕二(夕1，·’，，夕。)(其中的(x，y)是R”中的内积)从集合L.(R“)自LZ(R“)到空间LZ(R”)的连续扩张. 对于下面的情形，刊ancherel公式也成立:X是局部紧的交换拓扑群(toPologi份lgro叩)，Y是它的特征标群(chanlcter grouP)，x‘X，夕‘Y，召(x)和严仃)分别是X和Y上的规范不变测度(invdriant nl。巧眠)，而空间LZ(幻上的Fo~变换.八x)卜争f(y)是映射 。(x)1一舀(夕)一丁。(二)，(x)己。(、)， X 夕(x)‘L，(X)，y(x)任Y从集合L:(X)门LZ(X)到空间LZ(X)的连续扩张. Pk、ncherel公式能被推广到非交换拓扑群.例如，设G是一个紧H拙do盯群，#是其上的不变测度且l‘(G)=l，设g一U;“，是G在Hdbert空I’ril中的维数为。。的有限维不可约酉表示(见紧群的表示(化P渭entation of a comPact grouP))，g任G，“=l，2，一，x(夕)任LZ(G)，设 T犷，一丁x(。)U;·’‘d，(。) G(‘表示伴随算子)，又设Tr(T里·，T梦叼‘)是算子T少’T尸‘的迹(加ce)，则推广的Pklnclle肥l公式是: 丁!X(。，}’d。(。卜万·二Tr(T;一T犷，’)1(·， G【补注】也见F加叮祀r变换的参考文献.在局部紧的么模1型群的情形，有非常类似于(，)的P】allcl〕erel公式(参见[A3]的落18 .8):只是将(，)中的艺，飞换成在G的酉对偶d上的积分丁。dy(，)一般地，这一公式仅用于抽象形式.一个重要的研究领域是获取有关Plancllerel测度(Plancllerellll戈‘眠)，的更多信息.诸如它的支集、它的离散部分以及它的完整显式表达式等.在实的非紧半单Lie群的情形，这一课题已被Ha出h、ChandJ龙诬成功地完成了更一般地、可以考虑齐性空间(例如伪Riemalln齐性空间)上的Planchere】公式，参见1 Al]圣11 .2.将群上或齐性空间上的月ancl祀rel公式具体应用于那些关于一个子群满足某些共变性质的函数，可以得到关于带有特殊函数核的积分变换的儿ncherel公式.导出的Pl:川cherel测度经常会被选择作为解释涉及常微分或偏微分算子本征值问题的谱测度.
　　

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