补充资料：自治系统

自治系统
autonomous system

　　自治系统【a.比.加此甲妇”;aHr~~纵a]，常微分方程的 一个不显含自变量以时间)的常微分方程组.标准形式的一阶自治系统的一般形式是: ‘，二另(Xl，.·，一、，)，了二!，..n-或者用向量符号， 丫二/了一、)(I)引进一个新未知函数x。*，=。，可将一个非自治系统又=j(t，x)化为一个自治系统.在历史上，自治系统是在描述有限自由度的物理过程时一首先出现的，也称为动力或守恒系统(见动力系统(dynalni司s岁telll))‘ (l)式的复自治系统等价卜具有Zn个未知函数的实自治系统 景(R二)一R·，、·，，贵(‘m·，/，m刀X，-复自治系统理论的基本内毛井一一不同于实的晴况—是在厂(劝解析的情况下建立的(见微分方程解析理论(alla】ytieth图ry ofd亚化nt阁叫t以tlons)) 考虑一个实系数的解析系统和它的实解.设I二甲(t)为解析系统(l)的一个(任意的)解，设△=:t__.t、)为它有定义的区间，并设x(t，t0，x0)为具有初值二}，_r一二0的解.令G为r中的一个区域且f。〔，l陌)，如果f(二。)注o，则点尸〔G称为自治系统(1)的1二拿扣四回ibtiumpo‘)或孽牛小(po“of二‘)·解，(‘)二.、“〔任R二卜艾十())对应于这样的平衡点 解的局部性质(loc川卿1犯n璐of solutx〕nS)一、)如果甲(t)是解，则对任一c任R，甲(t+的是解. 2)存在性(绷tence):对任何:。任R，护份G，在某一区间八〕t内存在一个解以t;(}，尸). 3)步滑件(s~t俪Sl如果.厂〔Cr(G)/)’，那么价(约‘C尹’(A). 4)砂寺攀的谁穆件(dependen优on详Inul℃ters):设j泛f(、，时，，任仪仁丫其中G。是个区域如果f‘〔尸(6‘〔元)，p一)1，那么x(t，气，砂‘:)‘c，(△义G。)(其细节见[l]一[4]) 5)设才为非平衡点，那么分别存在点、“_八x‘，)的邻域F，休，以及微分同胚(di旅〕mo甲h地m少夕=h(川:卜 ，环一，使得该自治系统在w中有形式少=常数 在自治系统(l)中作变量变换、二价(川.得到系统 _、二(中妙))’八叭、”(2)其中甲‘(力是J洲习肠矩阵(J姗bi 11玉班。). 解的整体性质(gl。回Prol℃rties ofsolutions).1)自治系统(1)的任一解义二毋(t)可扩展至区间A二行，‘十).如果A一R，那么此解就称为手眼可犷难的(unh〕Un’圃，extelldable)，如果t+二+沈t>一(，那么此解就称为羊寸时l?l煎咖手甲叮可一半的(unboUn(圃y以t且对ablefop胃ardsintinr)(类似地关于时间后向(加汰姗助由intin℃)).如果t+<+的，那么对任一紧集KcQ，x”6K，存在一个:=:(K):(K)点x(t;与，x“)落在K之外(对t_<一的，情况类似;见微分方程解的延拓(Profo哪由nofsolutio、ofdiffe代幻t阎eqUatiom)). 2)在这样的意义上扩张是唯一的，即具有共同初始数据的任何两个解在它们整个定义域内是恒等的. 3)一个自治系统的任何解属于下列三种类型之一:a)非周期的，对所有t，尹t2，tj任R，毋(t:)笋势(‘);b)周期的，非常数;e)切(t)二常数. 自治系统的几何解释.对每一个解x=价(t)在区域G内规定了一条相应的曲线r:x=价(t)，t任么.这时G称为自治系统的相空间(加瑙es脚Ce)，r是相空卿宁的攀道(呵氏扔即inthep恤es哪)，解则可理解为相空间中沿着轨道的运动.由公式g仪“二 x(t;O，x0)定义的映射价G~G(即每一点在时间t持续的过程中沿相轨道移动)称为担俘攀(phase now)·在它的定义域内相位流满足以下条件:1)g‘x对(:，x)为连续;2)有臀馋辱(脚叩卿详砌)。‘1+tZx=g‘·g‘2二. Liou访11e定理(ljouville tl长幻n汕)成立:设D cG为一有限体积的区域，而vt为区域扩D C=G的体积，那么 dv} 亩{，二‘，一艺d“f(‘，dx·‘，， 对于一个Hai面Iton系统，(3)式的一个推论为相位流的相位体积守恒.(3)式的第二个变式按下述方式获得.设x二毋(t，幻为(l)式的一族解，“=(“1，…，:。一、)任G。，设G为一区域，并设甲任C’(△xG。)，那么 d. 亩‘n‘(‘，a)一“‘vf(x，，(3)其中I(r，a)=det改/a(x，a). 相轨道的结构(str。沈衅ofP吻e trajeCto6留).1)任意两个相轨道或者没有公共点或者相重合. 2)任一相轨道属于下列类型之一:a)一个光滑、简单、非封闭的拍d阴弧;b)一个环，即与一个圆微分同胚的曲线;c)一个点(一个平衡点).在一个不是平衡点的一点的小邻域内相轨道的局部结构是平凡的 (见解的局部性质5)):相轨道族与平行直线族微分同胚.对于线性自治系统，一个平衡点邻域中相轨道的结构是已知的，因为自治系统是可积的(ts]).对于非线性自治系统，这个问题甚至在n二2的情况下也尚未完全解决(见微分方程的定性理论(q叫派山呢也阳卿ofdi挽卿6叭equations)).这一问题的一个方面是平衡点 的稳定性问题(见稳定性理论(stability tl即ry)).下面将给出一些结果.设x0，尹是系统(l)的平衡点，设夕=g妙)(l)并设u，v为点x0，y“的邻域.如果存在邻域u，v和一个双映射h:U~V，使得(h of‘)x=(g‘oh)x(对于x ev，f‘x6v，(g‘。

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