1) algebraic number theory
代数数论
1.
By using congruence theory and algebraic number theory,proved that the Diophantine equation x 2 + 1 =y5 has only integer solution(x,y)=(0,1)and the Diophantine equation x 2 + 64 =y3 has no integer solution.
利用同余理论和代数数论的有关结论,证明了不定方程x2+1=y5仅有整数解(0,1)以及不定方程x 2+64=y3无整数解。
2) alglbraic number theory
[数]代数数论
3) arithmetic of algebras
代数的数论
4) algebraic graph theory
代数图论
1.
Comparing with the confrontation model in differential game theory,the pursuit-evasion model of unmanned aerial vehicles(UAVs)constructed by algebraic graph theory is easier to be simulated.
代数图论方法较之微分对策建立的无人机追逃对抗模型更易仿真求解,利用梯度方法改变Laplacian矩阵的非零特征值给出了对抗双方的控制输入,仿真证明了该方法的可行性。
5) algebraic theory
代数理论
1.
The article studies algebraic theory assistant design in the key step of design of synchronous time sequence logic circuits use of.
本文对数字逻辑电路关于同步时序逻辑电路设计的关键步骤中 ,引入代数理论辅助设计作了一些探讨 ,并用实例表明这样的努力使设计过程得到了大大的简
6) theory of algebra
代数论
补充资料：代数数论
数论的一个重要分支。它以代数整数，或者代数数域为研究对象，不少整数问题的解决要借助于或者归结为代数整数的研究。因之，代数数论也是整数研究的一个自然的发展。代数数论的发展也推动了代数学的发展。
代数数论主要起源于费马大定理的研究。法国数学家P.de费马在学习与翻译丢番图的《算术》一书时，在书边上写下了著名的"大定理"，即方程xn+yn=zn(n>2)没有xyz≠0的整数解。他说他已得到了这个结果的证明，由于地方太小而未写下。可是直到现在，三百多年来经过许多数学家的努力，这个"大定理"还没有能够得到证明。
容易看出，这个结果的证明，可以归结到n=4以及n为奇素数的情形。费马本人给出了n=4的证明,L.欧拉与A.-M.勒让德证明了n=3的情形，P.G.L.狄利克雷证明了n=5的情形。虽然对于许多奇素数,人们已经证明了这个结果，但始终没有得到一个一般的证明。
E.E.库默尔是努力证明费马大定理的数学家之一。他利用n次本原单位根把方程 xn+yn=zn写成,他以为在分圆域中，"整数"也象普通整数一样，可以惟一地分解成素数的乘积。在这个前提下，库默尔给出费马大定理的证明。不久，他自己发现他的假定是错误的，即在分圆域中，"整数"分解成素数的乘积不具有惟一性。这个发现使库默尔引入"理想数"的概念,他随之证明了,每个"理想数"可以惟一地分解成素因子的乘积，因而就建立了分圆域上的数论。J.W.R.戴德金把库默尔的工作系统化并推广到一般的代数数域，为代数数论奠定了基础。
C.F.高斯关于二元二次型的深入研究也引起了二次数域算术的研究。
有理数域Q上的有限扩张K 称为有限次的代数数域，K 对Q 的次数n=[K:Q]就是指K作为Q上线性空间的维数。K中每个元素都是一个次数不超过n的有理系数多项式 (1)的根。因为乘一非零整数后，多项式的根不变，所以不妨假定(1)是整系数多项式。如果K 中元素α使一个首项系数为1（即α0=1）的整系数多项式(1)为零,那么α就称为一代数整数。K 中全体代数整数组成一个具有单位元素的交换整环OK。对于环OK中的理想A、B定义乘法：即由A、B中元素之积的有限和组成的集合，显然，AB也是OK的理想。一个理想P 称为素理想,就是指由αβ∈P必有α∈P或β∈P。可以证明，在代数整数环OK中,每个非零理想A都可以惟一地分解成素理想的乘积,即A=P1P2...Pt，其中Pi(i=1,2,...,t)是素理想。在通常的整数环Z中,每个理想都是由一非负整数的倍数所组成，因之，非零理想与正整数是一一对应的。由此可见，关于理想分解的定理正是通常整数的因子分解定理的一个推广。
OK的全体非零理想组成一乘法半群, OK就是这个乘法半群的单位元素。为了方便，引入分式理想的概念。如果K 的一个子集合A是一个有限生成的OK模,那么A 就称为一分式理想。显然,理想全是分式理想。由K中任一元素α 的整数倍rα(r∈OK)组成的集合也是分式理想,它们称为主分式理想。对于分式理想可以同样地定义乘法。可以证明,K 中全体非零的分式理想在乘法下成一群,而且每个分式理想A 都可以惟一地表成素理想方幂的乘积这个群称为K的理想群，记为IK。
环OK中可逆元素称为单位。全体单位组成一乘法群，记为UK。显然,K 中非零元素α 生成的主理想(α)=OK的充分必要条件是α∈UK。下面的正合列是基本的:, (2)其中K*表示K 中全体非零元素组成的乘法群,而φ 把K*中元素映射到它生成的主理想， CK称为K的理想类群,其元素是理想类。按定义IK，中两个理想A、B属于同一类,当且仅当有α∈K*使A=αB。代数数论中一个基本的事实是:CK为一有限阿贝尔群,hK=|CK|称为K的类数。当hK=1，即每个理想都是主理想，OK为一主理想环，从而因子分解惟一性定理成立。在一定意义上，理想类群CK与类数hK反映了代数数域K在算术上的复杂性。直到现在，类群结构的研究与类数的计算，始终是代数数论中重要问题之一。即使是二次域类数的计算也是很困难的，近年来一个值得注意的进展是：A.贝克和H.M.斯塔尔克各自独立地于1966年和1967年确定出类数是 1的全部虚二次域它们分别是d=1，2，3，7，11,19,43,67，163等9个。
正合列（2）的另一端是单位群UK,它的结构已被狄利克雷完全决定。他证明了UK=HK×VK,式中HK为K中全部单位根组成的有限群,VK是一秩为r1+r2-1的自由阿贝尔群,r1为K 到实数域R 同构的个数，2r2为K到复数域C 同构(非实的)个数。VK的一组基称为基本单位组。具体算出基本单位组是代数数论中又一个重要的问题。基本单位组与类数有密切的联系。
整数环中一个素数p 在OK中生成一个理想pOK，一般地，它不一定是OK中的素理想。研究素数p 在OK中的素理想分解的规律，是代数数论中一个中心问题。下面把这个问题放在一个更广的形式下来讨论。
设L是代数数域K上的一个l次扩张，L当然仍是一个代数数域。它的代数整数环为OL，显然,且OL为OK的一个有限生成模。
如果OL是OK上一自由模（秩一定是l）,那么在OL中就有l个元素r1，r2，...，rl构成OL的一组基,即这样的元素组r1,r2,...，rl称为OL对于OK的一组整基。当OK是主理想环时,由主理想环上有限生成模的结构定理可知,OL对于OK一定有整基。特别地,代数整数环OK对于整数环Z一定有整基。在一般的情况下，整基不一定存在。
设P是OK中一个素理想。POL是OL中一个理想,它在OL中有素理想分解
(3)因为代数整数环是戴德金环，素理想都是极大理想，即代数整数环对于素理想的商环是域。对于(3),可以证明Qi∩OK =P,i=1,2,...,g。因而OK/P可以看作OL/Qi的子域。令它称为Qi对于P的剩余次数,ei称为Qi对于P 的分歧指数。于是有
(4)如果在(3)中有某个ei>1,即POL被素理想Qi的平方整除，就说P 在L 中分歧,而Qi就称为在K上分歧。否则就称为非分歧。如果OK中所有的素理想在L中都是非分歧的，L就称为K 的一个非分歧扩张。
判别式与差积是刻画分歧的两个重要概念。令Tr表示有限扩张L到K 的迹。对于L中任意l个元素v1,v2,...,vl，可知det│Tr（vi,vj）│＝0的充分必要条件是v1，v2,...,vl，在K上线性相关。在OL中取l个在K上线性无关的元素v1，v2，...，vl，作对于OL中所有可能的线性无关的元素组 v1，v2，...，vl,det│Tr(vi,vj)│在OK中生成一个理想Δ(L/K),它称为L对于K的判别式。可以证明,OK中素理想P在L中分歧,当且仅当P｜Δ(L/K)。由此可知,K中分歧的素理想只有有限多个，且L为非分歧扩张的充分必要条件是：Δ(L/K)=OK。利用判别式可以证明,有理数域上没有次数大于1的非分歧扩张。
在L中定义C＝{v∈L│Tr(vOL)嶅OK}，显然C 是L的一个分式理想,且C叾OL。令 δ(L/K)=C-1，它是OL中一个理想，称为L对于K 的差积。可以证明，OL中素理想Q在K上分歧，当且仅当Q｜δ(K/L)。差积与判别式有密切联系。
研究代数数域的算术性质与代数性质之间的联系，是代数数论的一个重要的方面。
设L/K是一伽罗瓦扩张,g=g（L/K）是伽罗瓦群。可以证明，在分解式（3）中,素理想Q1，Q2，...,Qg在伽罗瓦群 g下是可迁的，因而有即对于OK中素理想P有且Q1,Q2，...,Qg有相同的剩余次数??。公式(4) 就成为l=e??g。 令 D1为 Q1在 g 中的稳定子群，即，显然[g:D1]=g，|D1|=e??。令 岧=OL/Q1，噖 =OK/P，于是D1中每个元素诱导出岧/噖 的一个自同构。可以证明，是一满同态。令K1为这个同态的核，显然，[D1:K1]=??，│K1│=e，D1称为Q1的分解群，K1称为Q1的惰性群。对Qi相应地有子群Di与Ki, 在g中它们分别与D1与K1共轭。当 P非分歧时,(因噖、岧是有限域)。由伽罗瓦基本定理，相应地有一串域是L的一个最大的域,P 在其中不分歧。当P 分歧时，群K1还可进一步细分，即定义所谓高阶分歧群。这是由D.希尔伯特建立的一套重要的理论，称为希尔伯特分歧理论。
对于代数数域上的阿贝尔扩张,有很深刻的结果,即所谓类域论。
参考书目
华罗庚著：《数论导引》，科学出版社，北京，1953。
E.Hecke,Lectures on the Theory of Algebraic Numbers,Springer-Verlag,Berlin,1981.
Z.I.Borevich and I.R.Shafarevich,Number Theory,Academic Press,New York,1966.
代数数论主要起源于费马大定理的研究。法国数学家P.de费马在学习与翻译丢番图的《算术》一书时，在书边上写下了著名的"大定理"，即方程xn+yn=zn(n>2)没有xyz≠0的整数解。他说他已得到了这个结果的证明，由于地方太小而未写下。可是直到现在，三百多年来经过许多数学家的努力，这个"大定理"还没有能够得到证明。
容易看出，这个结果的证明，可以归结到n=4以及n为奇素数的情形。费马本人给出了n=4的证明,L.欧拉与A.-M.勒让德证明了n=3的情形，P.G.L.狄利克雷证明了n=5的情形。虽然对于许多奇素数,人们已经证明了这个结果，但始终没有得到一个一般的证明。
E.E.库默尔是努力证明费马大定理的数学家之一。他利用n次本原单位根把方程 xn+yn=zn写成,他以为在分圆域中，"整数"也象普通整数一样，可以惟一地分解成素数的乘积。在这个前提下，库默尔给出费马大定理的证明。不久，他自己发现他的假定是错误的，即在分圆域中，"整数"分解成素数的乘积不具有惟一性。这个发现使库默尔引入"理想数"的概念,他随之证明了,每个"理想数"可以惟一地分解成素因子的乘积，因而就建立了分圆域上的数论。J.W.R.戴德金把库默尔的工作系统化并推广到一般的代数数域，为代数数论奠定了基础。
C.F.高斯关于二元二次型的深入研究也引起了二次数域算术的研究。
有理数域Q上的有限扩张K 称为有限次的代数数域，K 对Q 的次数n=[K:Q]就是指K作为Q上线性空间的维数。K中每个元素都是一个次数不超过n的有理系数多项式 (1)的根。因为乘一非零整数后，多项式的根不变，所以不妨假定(1)是整系数多项式。如果K 中元素α使一个首项系数为1（即α0=1）的整系数多项式(1)为零,那么α就称为一代数整数。K 中全体代数整数组成一个具有单位元素的交换整环OK。对于环OK中的理想A、B定义乘法：即由A、B中元素之积的有限和组成的集合，显然，AB也是OK的理想。一个理想P 称为素理想,就是指由αβ∈P必有α∈P或β∈P。可以证明，在代数整数环OK中,每个非零理想A都可以惟一地分解成素理想的乘积,即A=P1P2...Pt，其中Pi(i=1,2,...,t)是素理想。在通常的整数环Z中,每个理想都是由一非负整数的倍数所组成，因之，非零理想与正整数是一一对应的。由此可见，关于理想分解的定理正是通常整数的因子分解定理的一个推广。
OK的全体非零理想组成一乘法半群, OK就是这个乘法半群的单位元素。为了方便，引入分式理想的概念。如果K 的一个子集合A是一个有限生成的OK模,那么A 就称为一分式理想。显然,理想全是分式理想。由K中任一元素α 的整数倍rα(r∈OK)组成的集合也是分式理想,它们称为主分式理想。对于分式理想可以同样地定义乘法。可以证明,K 中全体非零的分式理想在乘法下成一群,而且每个分式理想A 都可以惟一地表成素理想方幂的乘积这个群称为K的理想群，记为IK。
环OK中可逆元素称为单位。全体单位组成一乘法群，记为UK。显然,K 中非零元素α 生成的主理想(α)=OK的充分必要条件是α∈UK。下面的正合列是基本的:, (2)其中K*表示K 中全体非零元素组成的乘法群,而φ 把K*中元素映射到它生成的主理想， CK称为K的理想类群,其元素是理想类。按定义IK，中两个理想A、B属于同一类,当且仅当有α∈K*使A=αB。代数数论中一个基本的事实是:CK为一有限阿贝尔群,hK=|CK|称为K的类数。当hK=1，即每个理想都是主理想，OK为一主理想环，从而因子分解惟一性定理成立。在一定意义上，理想类群CK与类数hK反映了代数数域K在算术上的复杂性。直到现在，类群结构的研究与类数的计算，始终是代数数论中重要问题之一。即使是二次域类数的计算也是很困难的，近年来一个值得注意的进展是：A.贝克和H.M.斯塔尔克各自独立地于1966年和1967年确定出类数是 1的全部虚二次域它们分别是d=1，2，3，7，11,19,43,67，163等9个。
正合列（2）的另一端是单位群UK,它的结构已被狄利克雷完全决定。他证明了UK=HK×VK,式中HK为K中全部单位根组成的有限群,VK是一秩为r1+r2-1的自由阿贝尔群,r1为K 到实数域R 同构的个数，2r2为K到复数域C 同构(非实的)个数。VK的一组基称为基本单位组。具体算出基本单位组是代数数论中又一个重要的问题。基本单位组与类数有密切的联系。
整数环中一个素数p 在OK中生成一个理想pOK，一般地，它不一定是OK中的素理想。研究素数p 在OK中的素理想分解的规律，是代数数论中一个中心问题。下面把这个问题放在一个更广的形式下来讨论。
设L是代数数域K上的一个l次扩张，L当然仍是一个代数数域。它的代数整数环为OL，显然,且OL为OK的一个有限生成模。
如果OL是OK上一自由模（秩一定是l）,那么在OL中就有l个元素r1，r2，...，rl构成OL的一组基,即这样的元素组r1,r2,...，rl称为OL对于OK的一组整基。当OK是主理想环时,由主理想环上有限生成模的结构定理可知,OL对于OK一定有整基。特别地,代数整数环OK对于整数环Z一定有整基。在一般的情况下，整基不一定存在。
设P是OK中一个素理想。POL是OL中一个理想,它在OL中有素理想分解
(3)因为代数整数环是戴德金环，素理想都是极大理想，即代数整数环对于素理想的商环是域。对于(3),可以证明Qi∩OK =P,i=1,2,...,g。因而OK/P可以看作OL/Qi的子域。令它称为Qi对于P的剩余次数,ei称为Qi对于P 的分歧指数。于是有
(4)如果在(3)中有某个ei>1,即POL被素理想Qi的平方整除，就说P 在L 中分歧,而Qi就称为在K上分歧。否则就称为非分歧。如果OK中所有的素理想在L中都是非分歧的，L就称为K 的一个非分歧扩张。
判别式与差积是刻画分歧的两个重要概念。令Tr表示有限扩张L到K 的迹。对于L中任意l个元素v1,v2,...,vl，可知det│Tr（vi,vj）│＝0的充分必要条件是v1，v2,...,vl，在K上线性相关。在OL中取l个在K上线性无关的元素v1，v2，...，vl，作对于OL中所有可能的线性无关的元素组 v1，v2，...，vl,det│Tr(vi,vj)│在OK中生成一个理想Δ(L/K),它称为L对于K的判别式。可以证明,OK中素理想P在L中分歧,当且仅当P｜Δ(L/K)。由此可知,K中分歧的素理想只有有限多个，且L为非分歧扩张的充分必要条件是：Δ(L/K)=OK。利用判别式可以证明,有理数域上没有次数大于1的非分歧扩张。
在L中定义C＝{v∈L│Tr(vOL)嶅OK}，显然C 是L的一个分式理想,且C叾OL。令 δ(L/K)=C-1，它是OL中一个理想，称为L对于K 的差积。可以证明，OL中素理想Q在K上分歧，当且仅当Q｜δ(K/L)。差积与判别式有密切联系。
研究代数数域的算术性质与代数性质之间的联系，是代数数论的一个重要的方面。
设L/K是一伽罗瓦扩张,g=g（L/K）是伽罗瓦群。可以证明，在分解式（3）中,素理想Q1，Q2，...,Qg在伽罗瓦群 g下是可迁的，因而有即对于OK中素理想P有且Q1,Q2，...,Qg有相同的剩余次数??。公式(4) 就成为l=e??g。 令 D1为 Q1在 g 中的稳定子群，即，显然[g:D1]=g，|D1|=e??。令 岧=OL/Q1，噖 =OK/P，于是D1中每个元素诱导出岧/噖 的一个自同构。可以证明，是一满同态。令K1为这个同态的核，显然，[D1:K1]=??，│K1│=e，D1称为Q1的分解群，K1称为Q1的惰性群。对Qi相应地有子群Di与Ki, 在g中它们分别与D1与K1共轭。当 P非分歧时,(因噖、岧是有限域)。由伽罗瓦基本定理，相应地有一串域是L的一个最大的域,P 在其中不分歧。当P 分歧时，群K1还可进一步细分，即定义所谓高阶分歧群。这是由D.希尔伯特建立的一套重要的理论，称为希尔伯特分歧理论。
对于代数数域上的阿贝尔扩张,有很深刻的结果,即所谓类域论。
参考书目
华罗庚著：《数论导引》，科学出版社，北京，1953。
E.Hecke,Lectures on the Theory of Algebraic Numbers,Springer-Verlag,Berlin,1981.
Z.I.Borevich and I.R.Shafarevich,Number Theory,Academic Press,New York,1966.
说明：补充资料仅用于学习参考，请勿用于其它任何用途。
参考词条