补充资料：外代数

外代数
exterior algebra

外代数〔e刘段匆ra妙腼;。时.。朋幼而pa]，G~代数(G~目罗bra)，域丸上的向量空间V的 域k上一个结合代数，它的运算用符号八表示，具有生成元1，e，，…，氏，这里e、，…，气是V的一个基，并有定义关系 弓八ej=一ej八弓(i，j=1，‘’‘，n)，弓八叹二o， l八弓=弓八l“弓(i=l，一，n)，l八l=1.外代数不依赖于基的选取，记作八V.八V中由形如ei.八，二八气的元素所生成的子空间八rV(r=o，1，‘二)称为空间V的r次外幂(exterior po嚼).以下等式成立:dim八‘V=(罗)二C二，r=O，…，。.八rV=0，r>。.再者，如果“任八‘V，v任八‘V，则v八u=(一1)『su八二空间六V的元素称为;向量(卜喊tofs);它们可以看成V中斜对称;次反变张量(见外积(e血由rp代以uCt)). r向量与V中r维子空间有紧密关系:V的向量的两个线性无关组x】，…，xr与y，，…，yr生成同一子空间，当且仅当。向量x:八…八xr与y、八…八yr成比例.这个事实是H.Gn处石n篮讯n的研究中一个出发点([ 11).他引人外代数作为代数工具去描述由一维子空间向多维子空间的推广.借助于外代数很容易建立行列式的理论.外代数也可以对于更为一般的对象来定义.例如，对于一个有单位元的交换环A上的么模M来定义(【4」).一个模M的，次外幂八rM(;>0)定义为这个模的;次张量幂对于一切形如x.⑧…⑧xr(x.‘M)且对某一对j护天来说，xj=x、的元素所生成的子模的商模.M的外代数定义为直和八M=Or，。六M，这里尸M二A，带有自然引进的乘法.在有限维向量空间的情形，这个定义与原来的定义是一致的.一个模的外代数被用于主理想环上模的理论中(fs]). 域k上”维向量空间V的一个r维子空间L的Gn处治打坦nn坐标(Gn处器叮以n幻coo川inat。)(或PIOeker坐标(即cker coord如以咄))定义为V中对应于L的r向量的坐标，这坐标在成比例的意义下是完全确定的.G刀处石n姻田叮坐标可以用来将V中一切;维子空间的集合自然地嵌人维数为(夕)一1的射影空间内，在这里它作成一个代数簇，称为C。幽，“吐.流形(G口邸几.nnn坦n而kl).这样就得到射影代数簇的若干重要的例子(【61). 作为微分几何学中基本的形式之一，外代数被用于计算外微分形式(由晚哟tial form)(【7]，【8])，代数拓扑学中许多重要的结果都以外代数的语言来陈述. 例如，设G是一个有限维H空间(例如，一个块群)，系数在一个特征为零的域k内的G的上同调代数H，(G，k)是一个具有奇数次的生成元的外代数.如果G是一个单连通紧Lie群，则在K理论(K一山阳刁)中所研究的环r(G)也是一个(在整数环上的)外代数，晰注】辱孪弊早(anticolnmuting珑triabl巴)·(x，xj-一xjx‘，对一0)有时也称为Gn贬舀Tr坦nn孪早(Gn处洛n坦山叮讯由b肠)，特别是在超代数(supe阁罗bra)，超流形(suPer一侧祖而记)等场合·此外，也出现Ferrni拉矛孪量(企m如拍e枪riab】巴)这个词，特别是在理论物理中. 郝钠新译

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