补充资料：扰动理论

扰动理论
pertutfaation theory

范数相对为小)，另一些则可以看作是快的(fast)(即导数范数相对大).这种系统的广为人知的例子有描述电路或化学反应的常微分方程;例如，在后一种情况下，时间尺度可以直接与所涉及的反应速率相关.这些问题通常可以建模为一个多层系统，而时间尺度之比则用(小)参数来表示.这种系统的形状是 dX 山雌Ll，“，，’‘’，“·)万丁=jL‘，x)，这里rl~R”，忍CR，。2，…，。。是小的正常数.这类微分方程的一个例子是标量常微分方程 砂x”于，、韶x “言户十，鱿aj(‘，x)翁一o·相当一般的情况是考虑二层系统 dx 毛于“f(x，y，t)， dt ￡平一。(*，，，:)、 dt对这个常微分方程组应该给出两个初值(或边值)条件.特别有趣的是当。洛0时解(x，y)的性态.为避免混淆，为表示此解依赖于。，对解加上标￡.令￡二O，将得到所谓简化方程(耐uced闪Uation).如果(刁g/刁夕)(尸，y〔，，t)在相关的区域上非奇异，则可以形式地解出尹而得到只含x0的一阶常微分方程.很清楚，这时只需要一个初值(或边值)条件，所以一般说来，降阶问题的解不会满足另一个初值或边值条件.于是，这就可以解释奇异扰动(51爬刘ar详durhation)一词，因为(x‘，夕‘)到(xo，夕o)的收敛决非一致的，见〔AS].然而，给出了降阶解以后，可以设法找一个快解成分，从已给的初值或边值数据移动到一个“接近”于(尸，y“)的积分曲线，这样把(厂，丫)与(x“，J;0)连接起来.这件事常称为“边界层效应’(bou以纽即刁a界r effect)，它在那个初值点或边值点的。邻域(至少是与。相关的区域中)很引人注意.使用上述的关于降低解的做法有一些解析技巧.这里，降阶解(称为外解(outersolution))在层内修正为一瞬态解(让出犯记以solution)(称为内解(in沉r solutio幻))，其方法是在层内与层外作幂级数展开.为了使这些成分逼近于所要求的解，就需要将它们匹配起来.所以这个技术就称为匹配渐近展开(mat-cl〕已as扣IPtotic expansions). 层或瞬态不只可能产生于边界处，也可能产生于区域内部.这是气体动力学中众所周知的现象，这里激波时常可以描述为这种问题的内部的层(见激波的数学理论(sh民k~月拙the叮以tical thi”卿of).举一个例，考虑粘性B切电e巧方程 ￡y”一yy’一凡夕二O，又〔R扰动理论【.姆由川脑腼血妈r;助3M灿e。

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