补充资料：切丛

切丛
tangent bundle

　　切丛ltal笔altb山de;Kac盯e肠uoe pace月oen“e]，微分流形M的 向量丛(vector bUnd』e)::丁M~M，也记作:(M)，它的全空间TM由M在各点x任M处的切空间TM}，组成，丛投影T将TM!二映到点x，切丛:(M)的一个截面也称为M上的一个向量场(见流形上的向量场(vectorl记ld on a manitbld)).作为流形TM上的一个图册，可由流形M上的一个图册(at眺ofthe此川jfokl)产生.丛;(M)是局部平凡的.切丛的转移函数，可由原流形的图册的转移函数的Jacobi矩阵给出. 与切丛相配的主丛，是流形M的标架丛.切丛:(M)的对偶丛:’(M)，称为M的余切丛(cotan-gent bun山e)，它的全空间由M各点处的余切空间(cotall罗nt sPaces)构成.它的截面是微分形式或R油ff形式(Paffian form). 流形间的可微映射h:M~N诱导切丛间态射T(M)一下(N);全空间上相应的映射Th: TM~TN称为h的切映射(tan罗ntff吸Pp吨)(或h的微分(dil企化ntial)).尤其是，当i:M~N为一个浸人(见流形的浸入(~rsion of an坦nifokl))时，下(M)是诱导向量丛i’;(N)的不个子丛·商丛”(i)-I‘:(N)/;(M)称为该浸人的法丛(nonnal btlnd犯).对偶地，如果j:M~N为一浸没(subllrrsion)，则商丛:(材)/J’:(N)称为J的浸没丛(sublnersionb山记le).如果分别取TM，M做为M，N，并月.令h二;:TM~M，则T‘叹M)称为二阶切丛(tan-gent burldle of second order). 如果:(M)平凡，则称M是可平行化流形(pa-m!leli功ble Inanifold).【补注】可微映射fM一卜N诱导的切映射(又称微分)可以用公式 T仪(m)(v)(g)=v(夕，)给出，其中彭N一R，‘M一N，。:F(M)，R，F(M)是M上全体光滑函数构成的代数，并且切向量(tan罗ni vector)被视为一类特殊的实线性映射F(M)~R. 如果采用局部坐标系以及“刁/口x，记号”(见切向量(tallgentvector”，T州m)的矩阵可以用:在局部坐标系中的表达式的Jacobi矩阵给出. 在实际应用中，微分Tf TM~TN有许多其他记号.常见的有T:，:。，J(动，D“，d:.最后一个记号，当“是一个函数‘M~R时，在记号或称呼上多少与d“作为M上由仪定义的1次微分式相一致(见微分(djfl’e re叫al);微分形式(difl七rentialform)).采用日/刁x:以及dx:记号(见切向最(tan-gent vector))，1次微分式d“在局部坐标系中的表达式是 日，，刁崖 d戊=二升立.dx，+…+一兰兰‘dx 刁xl一’日x。一’”(这里日“/口x，是切向量创日义，在:上作用的结果).用t表示R中点的坐标，则d盯T，M，T:〔。

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