大数定理简介

我们知道，单凭理性计算，有限次重复博奕，是解决个体理性与集体 理性之间矛盾的。无限重复又如何呢？且听我细细道来。 　　在无限重复中，行为规则可以用自动机来代表，于是不同行为规则的 相争，便成了机器与机器的角斗。假设甲和乙玩无限重复的囚犯博奕。甲 相信《美德的起源》一书作者的教导，认定仁厚忠恕既高尚又有效，于是 以它为策略。乙信奉理性流氓主义，崇尚实力和实利，于是以流氓主义为 策略。这样，二人间的博弈，就可以看作恕道机器与流氓机器的争斗。根 据上一贴中列出的框图，我们可以推演出各个回合双方的行为如下： 第一回合，甲仁厚玩合作ｈ，乙宰客玩欺骗ｄ； 第二回合，甲报复玩欺骗ｄ，乙仍然宰客玩欺骗ｄ； 第三回合，甲仍报复玩欺骗ｄ，乙发现甲并非傻客，于是玩合作ｈ； 第四回合，甲原谅乙，玩合作ｈ；乙却因甲上次不合作，回头玩欺骗ｄ宰客； …… 如此等等。采用我们上贴里的报偿表，整个结果序列如下图所示：

循　环　　　循　环　　　循　环

┌───┐　┌───┐　 ┌───┐

↓　　　↓　↓　　　↓　 ↓　　　↓

行为：甲　ｈ　ｄ　ｄ　ｈ　ｄ　ｄ　ｈ　ｄ　ｄ

乙　ｄ　ｄ　ｈ　ｄ　ｄ　ｈ　ｄ　ｄ　ｈ

报偿：甲　０　２　６　０　２　６　０　２　６

乙　６　２　０　６　２　０　６　２　０

…… 　　请注意，此序列呈现一个有趣的规律：就是每三个一组，不断循环重 复。于是我们很容易算出，博弈各方平均每个回合的报偿有多少　　只要 取相继三个回合，作个简单平均就够了。甲得到（０＋２＋６）／ ３ ＝ ２．６７，乙得到（６＋２＋０）／ ３＝２．６７。显然，两者平分秋色， 不相上下，谁也不比谁差，谁也不比谁强。 　　这种循环重复并不是特例。可以证明，有限自动机玩无限重复博弈， 其结果最终都会变成循环重复序列。于是，利用类似的办法，我们可以针 对上贴中列出的七种策略，算出每一对策略相博所产生的的平均报偿。这 些报偿可以写成一个７×７博奕矩阵，如下表所示（其中一些略去了小数， 这不影响下面的讨论）：

乙

傻客　　恶棍　　冷血　　恕道　　侠义　　流氓　　摇摆 　　　　 ·－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－· 　 傻客 ｜４，４｜０，６｜４，４｜４，４｜４，４｜０，６｜０，６｜ 　　　　｜－－－＋－－－＋－－－＋－－－＋－－－＋－－－＋－－－｜ 　　恶棍｜６，０｜②，②｜２，２｜２，２｜２，２｜３，１｜２，２｜ 　　　　｜－－－＋－－－＋－－－＋－－－＋－－－＋－－－＋－－－｜ 　　冷血｜４，４｜２，２｜④，④｜④，④｜２，２｜３，１｜２，２｜ 　　　　｜－－－＋－－－＋－－－＋－－－＋－－－＋－－－＋－－－｜ 　　恕道｜４，４｜２，２｜④，④｜④，④｜３，３｜２，２｜２，２｜ 甲　　　｜－－－＋－－－＋－－－＋－－－＋－－－＋－－－＋－－－｜ 　　侠义｜４，４｜２，２｜２，２｜３，３｜２，２｜２，２｜２，２｜ 　　　　｜－－－＋－－－＋－－－＋－－－＋－－－＋－－－＋－－－｜ 　　流氓｜６，０｜１，３｜１，３｜２，２｜２，２｜④，④｜２，４｜ 　　　　｜－－－＋－－－＋－－－＋－－－＋－－－＋－－－＋－－－｜ 　　摇摆｜６，０｜２，２｜２，２｜２，２｜２，２｜４，２｜③，③｜ 　　　　 ·－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－·

上面这个表里面，有带圈数字的格子都是平衡点。比如，乙玩恶棍策 略时，甲无论玩什么，都不比当恶棍带来的好处更多，顶多不致受损而已。 因此，甲乙双方都当恶棍，次次都玩欺骗，便是重复囚犯博奕的平衡点之 一，此时各方的报偿与一次性博奕相同，都是２。