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1)  Arithmetic-Geometric Average Inequality
算术-几何均值不等式
2)  arithmeticgeometric average inequality
算术几何平均值不等式
3)  arithmetic mean geometric mean harmonic mean inequality
算术平均值-几何平均值-调和平均值不等式
4)  geometry average-arithmetic average inequality
几何算术平均不等式
5)  Geometric-Arithmetic mean inequality
几何-算术平均不等式
6)  arithmetic geometric average inequality
算术几何平均不等式
补充资料:均值不等式

几个重要不等式(一)

一、平均值不等式

设a1,a2,…, an是n个正实数,则,当且仅当a1=a2=…=an时取等号

1.二维平均值不等式的变形

(1)对实数a,b有a2+b2³2ab          (2)对正实数a,b有

(3)对b>0,有,   (4)对ab2>0有,

(5)对实数a,b有a(a-b)³b(a-b)                (6)对a>0,有

(7) 对a>0,有                   (8)对实数a,b有a2³2ab-b2

(9) 对实数a,b及l¹0,有

二、例题选讲

例1.证明柯西不等式

证明:法一、若或命题显然成立,对¹0且¹0,取

代入(9)得有

两边平方得

法二、,即二次式不等式恒成立

则判别式

例2.已知a>0,b>0,c>0,abc=1,试证明:

(1)

(2)

证明:(1)左=[]

=

³

(2)由知

同理:

相加得:左³

例3.求证:

证明:法一、取,有

a1(a1-b)³b(a1-b), a2(a2-b)³b(a2-b),…, an(an-b)³b(an-b)

相加得(a12+ a22+…+ an2)-( a1+ a2+…+ an)b³b[(a1+ a2+…+ an)-nb]³0

所以

法二、由柯西不等式得: (a1+ a2+…+ an)2=((a1×1+ a2×1+…+ an×1)2£(a12+ a22+…+ an2)(12+12+…+12)

=(a12+ a22+…+ an2)n,

所以原不等式成立

例4.已知a1, a2,…,an是正实数,且a1+ a2+…+ an<1,证明:

证明:设1-(a1+ a2+…+ an)=an+1>0,

则原不等式即nn+1a1a2…an+1£(1-a1)(1-a2)…(1-an)

1-a1=a2+a3+…+an+1³n

1-a2=a1+a3+…+an+1³n

…………………………………………

1-an+1=a1+a1+…+an³n

相乘得(1-a1)(1-a2)…(1-an)³nn+1

例5.对于正整数n,求证:

证明:法一、

>

法二、左=

=

例6.已知a1,a2,a3,…,an为正数,且,求证:

(1)

(2)

证明:(1)

相乘左边³=(n2+1)n

证明(2)

左边= -n+2(

= -n+2×[(2-a1)+(2-a2)+…+(2-an)](

³ -n+2×n

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