补充资料：拓扑代数

拓扑代数
topological algebra

　　拓扑代数【to州嗜caia啥曲.:Tono月or“叼ecK翻aJlre-6pa」 1)同时是拓扑空间且代数运算是连续的一种泛代数(~rsal algebla). 2)同时是拓扑空间的拓扑域或交换环R上的一种代数(在含算子环(ring with operators)的意义下)A，且其中加法和乘法运算以及映射R xA~A((r，a)~ra)都是连续的.B田份山代数(E以11achal罗腼)是复数域上拓扑代数的一个例子. 3)拓扑代数学是代数学的一个分支，它研究拓扑代数结构，即群，半群，环，格，向量空间，模，以及其他，其中装备着拓扑使所考虑的代数运算是连续的. 拓扑群(topological grouP)的概念是与连续变换群的研究相联系而产生的.譬如说，在19世纪后半期，5.Lie和他的学派发展了重要的一类拓扑群(从一流形到其自身中的可微变换群)的理论，这些群随后被称为块群(Lie grouP).一般拓扑群的研究开始于20世纪20年代(见[l」， 12]).20世纪30年初，拓扑群、环和域被系统地进行了研究. A.H.Ko二Moropos({3J)开创了研究拓扑射影几何学的公理化方法.其分类本质上依赖于局部紧除环(foca』」y compact skew一企ld)的描述.连通局部紧除环的一个完全的描述由月.C.noHTp兄rHH于1932年给出(见【4]，第4章).分析中的大量问题引向E妞旧由空间(Banach印-ace)(亦见【5])的一般定义，这激发了对拓扑环上拓扑模和B~h代数的系统研究(见【6]，「7」). 现在拓扑代数学的基本分支是:拓扑群(toPologi-cal group)及其推广(特别是拓扑半群和拟群);拓扑环(topologicaln刀g)(特别是拓扑域和除环)和其上的拓扑模(topological 11x心ule)(特别是拓扑向量空间(topo10沙al veetors孙ee);拓扑格(特别是拓扑射影平面);以及拓扑泛代数(见「5」，【8」，【10」，l川). 在拓扑代数学中可分出以下的研究方向二代数系统(群、环及其他)中拓扑的存在性，变换它们到具有特殊性质的拓扑代数系统中;关于扩张拓扑到代数系统的扩张中和关于把它们嵌入到特殊类别的拓扑代数系统中的可能性等问题;拓扑代数系统的拓扑性质，特别是用度量或范数来确定该拓扑的可能性;不同类别拓扑代数系统的构造(包括拓扑代数系统的根理论);自由拓扑代数系统;和拓扑代数系统的对偶性问题.【补注】拓扑半群(top01oglcal~·group)的概念自19刃年以来在泛函分析和拓扑代数学(按上面3)的意义)中已经作了研究.见【A41一【A7]. 拓扑代数学的一个重要方面是同一集合上拓扑和代数结构之间的相互作用;特别是，在其他方面不等价的拓扑性质由于相容代数结构的存在而使之成为等价的方法，以及反之.例如，如果一个拓扑群的底拓扑空间满足T。分离性公理，则它自动地是Hausdo盯空间(且甚至是完全正则的).类似地，如果一个拓扑环(具有1)的底空间是紧和Hausdo叮的，则它也是零维的.在另一方向，如果一个格容许有一个紧Hausdorff拓扑与其格结构相容，则它必须是完全的(即有任意子集的上确界和下确界)在这种情形(且即使对拓扑半格)，该拓扑是由代数结构唯一决定的(加上要求它应是紧和Hausdorff的).关于拓扑格的更多信息，见「All，【A2].
　　

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