补充资料：周期解

周期解
periodic solution

　　周期解l网。面c刻u‘佣;IIc洲。卿，e哪ePe皿朋e]常微分方程或方程组的 周期地依赖于自变量t的解.对于一个周期解x(t)(在方程组情况下x是一向量)，必有一数T笋O使得 x(r+T)=戈(t)，r任R.所有可能的这样的T均称为此周期解的周期(period);、(t)的连续性表明，或者x(t)与t无关，或者所有可能的周期都是其中某一个兀>o即最小周期(m如加xdpe月od)的整数倍.当讨论到周期解时，常常是指后一种情况，而几就直称为周期. 通常或者是对右方与t无关的常微分方程组(即自治系统(autonomouss那tenl)) 又一f(x)，、。u(一)(U是R”的一个区域)来考虑周期解，或者是对右方周期依赖于t的方程组 交二.f(广，义)，.f(r+T，，x)=f(r，x)，义〔U(2)来考虑周期解.(右方按其他方式依赖于t的方程组通常没有周期解)在〔2)的情况下，周期解的周期T0或与T;相同，或为T了的整数倍;只有在例外情况下才会有其他瓦周期T0=kT.(k>l)的周期解描述下调和振动(见强迫振动(fo代ed osc恤tions))、所以有时称为下调和周期解(subhan刀onic伴liodicsotu-tions或subhamlol妇cs). 方程组(2)定义了物沁，说回归映射(Pomca说retum浏lp)F(它依赖于初始时刻t。的选择):若x(t，匀是(2)的具有初始值x(t。，幼‘古的解，则 F(省)=x(to+TI，古)户(2)的性质与F的性质密切相关，特别是，对于具有周期kT，的周期解，其在t二乌，时的值当k二1时是F的不动点，而在瓦>1时则是周期为k的周期点，亦即k重迭代F“的不动点.周期解的研究在相当大程度上化为考察Poincai亡回归映射的相应不动点或周期点. 对于自治系统(1)，这种作法要作以下的修正:在相空间中周期解轨道(这是一个闭曲线)的某一点上作一局部截面，即作横截于此轨道的余维数为1的光滑流形n，并考虑将一点七‘n转化为(l)之过七的轨道第一次与n相交的点的映射. 接近于一已给周期解的解的性态可以用对应的变分方程组(见变分方程(份对ational明Uatio留))按线性逼近来描述.这时，这个线性方程组的系数周期地依赖于t，因此可以讨论其相应的单值算子(伽n叫比my opera-tor)和乘子(m川tiPliers).后者也称为已给周期解的乘子(mul石plie巧for thegi卿Pededic solution).线哇远近决定周期解的性质(如稳定性，不变流形)，一定程度上与决定平衡解(见平衡位置(叫俪librium训51石on))的性质相同. (1)的周期解有一些特别之处:1总是一个乘子(只要周期解不是一个常数).在研究这些周期解的稳定性时，这一点特别要记住〔见A“即。.。

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