1) unified general term formula and recurrence formula
统一的通项公式和递推公式
2) Recurrence formula
递推公式
1.
The recurrence formula for beam transform in bending was deduced.
推导了求梁的变形的递推公式并对其应用方法做了说明。
2.
This paper put forward a recurrence formula through calculation and synthesis,based an harmonic series theory.
通过计算、综合、证明等步骤,得出飞机空中加油问题的递推公式,并以调和级数等相应的数学理论为基础来解决。
3.
A new kind of dependent Legendre polynomial,and general expression of orthogonal polynomial of its derivatives and recurrence formula are researched,and are obtained good conclusion.
探求了一类相关Legendre多项式及其导数的正交多项式的一般表示形式及其递推公式 ,得到了较好的结论 。
3) recursive formula
递推公式
1.
Based on the special matrix operations including Kronecker product, Hadamard product and vectorization, the integration of monomial integrand on simplex domain is expressed in matrix form and a recursive formula for the simplex integration is presented.
基于Kronecker积、Hadamard积和拉直等矩阵特殊运算,将单项式函数在单纯形上的积分表示为矩阵形式,提出了单纯形积分的递推公式。
2.
The recursive formulae suitable to computer programming are given.
对多窗口函数之一的物理实现原理和方法进行了讨论与分析,找出了其对应的可实现有理函数的求取方法,导出了很适合计算机编程计算的递推公式,并在此基础上建立了其实现的数学模型和原理框图。
3.
on the basis of studying the recursive formula of the rigid manipulator inverse dynamics.
本文在对刚性机械臂逆动力学的递推公式研究的基础上,针对递推形式的 Lagrange-Euler 方法提出了一种并行算法,并在计算效率上与不采用并行计算的 Lagrange—Euler 法作了比较,其结果是令人满意的。
4) recursion formula
递推公式
1.
The mathematic form of computer spline is a set of recursion formula which keep away from solution of inear equations.
计算机样条的数学形式是一组递推公式,避免了线性方程组的求解。
2.
Moreover the Proof of recursion formula in paper [1](namely recursion formula (two) in this paper) is simplifie
这些方法只需计算特征函数Ａ（ｒ）及其各阶导数在某点的值，方法简单，两种递推公式适合计算饥计算，本文还简化了文［１］中递推公式（即本文的递推公式（二））的证明。
3.
The article gives the reversible condition of a kind of jump Vandermonde matrix through linear equations, and recursion formula and the expression of its inverse Matrix.
利用线性方程组给出了一类跳行范德蒙矩阵可逆的条件,并给出了逆矩阵的递推公式和逆矩阵的显式表示式。
5) recurrent formula
递推公式
1.
By letting A(n,k) be the number of nonnegative integer solutions for the indeterminate equation∑ki=1ixi=n, this paper proves recurrent formula, gives corresponding table, and presents an accurate formula of A(n,4) using the recurrent formula.
设A(n,k)为不定方程∑ki=1ixi=n的非负整数解的个数,本文作者给出了A(n,k)递推公式的证明及由此公式得到的A(n,k)取值表,用该递推公式求出了A(n,4)的精确公式。
2.
A self-similar analytical solution of the Boussinesq equation of groundwater flow in a semi-infinite porous medium when the hydraulic head at the boundary behaves like a power of time was presented(Barenblatt(1952) obtained a power series solution,but he listed only the first three coefficients and did not give the recurrent formula among the coefficients.
通过幂级数展开的方法推求得出了Barenblatt幂级数解的各项系数之间的递推公式(对半无限长多孔介质中地下水流动的Boussinesq方程的自相似解,在边界水头随时间幂函数变化的条件下,Barenblatt(1952)得到了一个幂级数解,但他仅仅列出了其前3项的系数,既没有给出整个幂级数解所有系数的递推关系式,也没有证明该幂级数解的收敛性。
3.
In addition, two recurrent formulas are derived which provide a mathematical approach to the calculations of the elements of the transformation matrices.
本文研究任意两个B样条基可转换的条件及转换矩阵,给出了关于转换矩阵元素的表示及性质等理论结果,并推导出了两个递推公式,为实际计算转换矩阵的元素提供了易于实现的数学方法。
6) Recursion formulae
递推公式
1.
The Recursion formulae of the node corner displacement are derived in the text and that internal of the beam can be solved.
推出了求解无结点侧移连续梁的结点转角位移的递推公式,进而求得梁板的内力。
2.
The recursion formulae of the node angle displacement are derived in the text and that internal forces of the beam can be solved.
推出了求解结点转角位移的递推公式 ,进而求得梁的内力 。
补充资料：公式推演
由计算机自动推演数学公式的技术，是人工智能的一个应用领域，又称计算机代数。运用公式推演技术能使人们从手工的繁琐和容易出错的符号演算和推理中摆脱出来。(3+4)2=49,这是数值计算;而(a+b)2=a2+2ab+b2就是公式推演，这时被计算对象是符号式，结果也是符号式。
公式推演的研究始于1953年。1966年美国计算机协会成立符号和代数推演专业组(SIGSAM)，并出版了这方面的刊物《ACM SIGSAM Bulletin》。
公式推演的内容包括数学式的化简、多项式四则运算、求最大公因式、因式分解、有理式的各种运算、符号矩阵、行列式、张量运算、线性和非线性方程组的符号解、符号微分、不定积分、常微分方程和数理方程的解析解、各种特殊函数的推导和函数的级数展开等。公式推演的研究分为算法、系统和应用三个方面。
算法 针对各种公式推演对象，改进已有算法或提出新算法。例如求两个多项式的最大公因式的算法、因式分解算法、求有理函数的不定积分的算法等。
系统 目前世界上已有60多个公式推演系统，可分通用系统和专用系统两种类型。如美国麻省理工学院研制的MACSYMA,是著名的通用公式推演系统，也是求解数学问题的大型知识型系统或专家系统；ASHMEDAI则是量子电动力学问题的专用公式推演系统。muMATH是适于在微型机上运行的公式推演系统。
MACSYMA是交互式计算机程序系统,它以符号形式输入和输出，并可调用多种数值计算的子程序库和绘图程序包,因此公式推演功能很强。这个系统已与美国高级研究计划局的通信网络即阿帕网(ARPA网)联网。MACSYMA的化简程序能自动地根据一组规则对数学式进行化简，这类规则的例子如
在进行数学式化简时,MACSYMA还利用语义模式匹配程序。这个程序使用关于运算符和常数的知识发现非语法的匹配。例如ax2+bx+c（其中a、b、c都是与x无关的模式变元）这一模式能与2x2+1、(x+3)2、3x2+5x+2等表达式匹配，但不能与 2x2 + x sinx+1匹配。
表达式尺寸大小(即所含项数多少)是衡量表达式简单程度的一个有用指标。根据最小表达式的思想，MAC-SYMA采用了一个面向搜索的爬山程序（算法），它对数学表达式的化简如下例：
已知条件：K2+L2=1
N2-M2=1
原始表达式：K2N2+K2M2N2-K2L2N2-K2L2M2N2
中间表达式：K4M2N2+K4N2（原始式代换L而得）
最终表达式：K4N4（中间式代换M而得）
在某些问题中为便于化简，数学式中的符号在取值范围或其他性质方面受到一定限制,为此MACSYMA设置了一个关系数据库，以语义网络形式存放关于符号的事实。例如用户通过说明命令规定符号 m的值限为整数，那么化简程序能将简化为零。又如用户通过假设命令设定x ≤y，y≤z和z ≤x，那么MACSYMA便能推出x=y=z。
MACSYMA有一个自动符号积分程序,它使用启发式技术。积分程序将被积函数分为11类，相应就有11个积分功能模块。积分程序根据被积函数中子式的启示，将它交给相应的积分功能块去处理。例如被积函数含有子式sin(2x),则用三角函数的积分功能块去处理。遇到积不出的情况，符号积分程序会给出报告。
为了便利用户,MACSYMA提供了联机支援程序和用户培训程序（智能化计算机辅助数学程序）。
应用 公式推演技术已成功地用于天体力学、相对论、高能物理、等离子体物理、量子电动力学、流体力学、数学、化学、电路网络理论、排队论等科学领域,也成功地用于船体设计、直升机设计、电子显微镜设计等工程技术问题。MACSYMA系统已移交美国的能源研究与开发局、国家航空航天局、全国卫生研究院和海军实验室使用。
在求解一组描述天体运动规律（包括行星、人造卫星、太空站等）的微分方程时，通常采用逐次逼近法。解的形式是以小参数（如轨道的偏心率）表示的幂级数。从1847年起法国天文学家 G.-E.德洛内为研究月球运动公式花了20年时间，而1970年美国西雅图波音实验室的A.德普瑞特等人用公式推演和数值计算相结合的技术在计算机上只用了20小时就重新算出德洛内的公式并纠正了三处错误。
R.P.费因曼用他建立的费因曼图来研究量子电动力学中电子和光子间相互作用的微扰理论。对电子异常磁矩进行准确到六阶微量的修正计算，需要分析72张费因曼图，涉及大量繁琐的积分运算。应用公式推演技术可将积分结果先用符号形式表示, 然后再进行数值计算， 能大大提高计算效率。在 UNIVAC1108 机上运行专用的ASHMEDAI系统对一张复杂的费因曼图进行分析仅需要35分钟。
公式推演的研究始于1953年。1966年美国计算机协会成立符号和代数推演专业组(SIGSAM)，并出版了这方面的刊物《ACM SIGSAM Bulletin》。
公式推演的内容包括数学式的化简、多项式四则运算、求最大公因式、因式分解、有理式的各种运算、符号矩阵、行列式、张量运算、线性和非线性方程组的符号解、符号微分、不定积分、常微分方程和数理方程的解析解、各种特殊函数的推导和函数的级数展开等。公式推演的研究分为算法、系统和应用三个方面。
算法 针对各种公式推演对象，改进已有算法或提出新算法。例如求两个多项式的最大公因式的算法、因式分解算法、求有理函数的不定积分的算法等。
系统 目前世界上已有60多个公式推演系统，可分通用系统和专用系统两种类型。如美国麻省理工学院研制的MACSYMA,是著名的通用公式推演系统，也是求解数学问题的大型知识型系统或专家系统；ASHMEDAI则是量子电动力学问题的专用公式推演系统。muMATH是适于在微型机上运行的公式推演系统。
MACSYMA是交互式计算机程序系统,它以符号形式输入和输出，并可调用多种数值计算的子程序库和绘图程序包,因此公式推演功能很强。这个系统已与美国高级研究计划局的通信网络即阿帕网(ARPA网)联网。MACSYMA的化简程序能自动地根据一组规则对数学式进行化简，这类规则的例子如
在进行数学式化简时,MACSYMA还利用语义模式匹配程序。这个程序使用关于运算符和常数的知识发现非语法的匹配。例如ax2+bx+c（其中a、b、c都是与x无关的模式变元）这一模式能与2x2+1、(x+3)2、3x2+5x+2等表达式匹配，但不能与 2x2 + x sinx+1匹配。
表达式尺寸大小(即所含项数多少)是衡量表达式简单程度的一个有用指标。根据最小表达式的思想，MAC-SYMA采用了一个面向搜索的爬山程序（算法），它对数学表达式的化简如下例：
已知条件：
原始表达式：
中间表达式：
最终表达式：
在某些问题中为便于化简，数学式中的符号在取值范围或其他性质方面受到一定限制,为此MACSYMA设置了一个关系数据库，以语义网络形式存放关于符号的事实。例如用户通过说明命令规定符号 m的值限为整数，那么化简程序能将简化为零。又如用户通过假设命令设定x ≤y，y≤z和z ≤x，那么MACSYMA便能推出x=y=z。
MACSYMA有一个自动符号积分程序,它使用启发式技术。积分程序将被积函数分为11类，相应就有11个积分功能模块。积分程序根据被积函数中子式的启示，将它交给相应的积分功能块去处理。例如被积函数含有子式sin(2x),则用三角函数的积分功能块去处理。遇到积不出的情况，符号积分程序会给出报告。
为了便利用户,MACSYMA提供了联机支援程序和用户培训程序（智能化计算机辅助数学程序）。
应用 公式推演技术已成功地用于天体力学、相对论、高能物理、等离子体物理、量子电动力学、流体力学、数学、化学、电路网络理论、排队论等科学领域,也成功地用于船体设计、直升机设计、电子显微镜设计等工程技术问题。MACSYMA系统已移交美国的能源研究与开发局、国家航空航天局、全国卫生研究院和海军实验室使用。
在求解一组描述天体运动规律（包括行星、人造卫星、太空站等）的微分方程时，通常采用逐次逼近法。解的形式是以小参数（如轨道的偏心率）表示的幂级数。从1847年起法国天文学家 G.-E.德洛内为研究月球运动公式花了20年时间，而1970年美国西雅图波音实验室的A.德普瑞特等人用公式推演和数值计算相结合的技术在计算机上只用了20小时就重新算出德洛内的公式并纠正了三处错误。
R.P.费因曼用他建立的费因曼图来研究量子电动力学中电子和光子间相互作用的微扰理论。对电子异常磁矩进行准确到六阶微量的修正计算，需要分析72张费因曼图，涉及大量繁琐的积分运算。应用公式推演技术可将积分结果先用符号形式表示, 然后再进行数值计算， 能大大提高计算效率。在 UNIVAC1108 机上运行专用的ASHMEDAI系统对一张复杂的费因曼图进行分析仅需要35分钟。
说明：补充资料仅用于学习参考，请勿用于其它任何用途。
参考词条