补充资料：稳定分布

稳定分布
stable distribution

稳定分布【stable distrib川血111;ycTO益ttH.oe paCnpe八e-月e“，e} 具有如下性质的一种概率分布:对于任意的“l>0，b，，aZ>0，bZ，关系式 F(a lx+b，)‘F(aZx+bZ)=F(ax+b)(l)成立，其中a>0，b是某个常数，F是此稳定分布的分布函数，而*是两个分布函数的卷积算符. 稳定分布的特征函数有如下形式:，(亡)一{￡J亡一}亡‘·〔1一刀击臼‘!，·，」}， (2)其中。<，(2，一1‘夕落1，‘)0，d是任意实数，而 f二: 1 tan~气丁一，仪介l， 田吸f，仪，二吸 〔一贡in}:}，:一，数“称为稳定分布的指数(exponellt of the stable曲-lribu加n).指数仪=2的稳定分布是正态分布(normaldistrib咖n)，Ca该勿分布(Cauchy distribution)则是指数，=1的稳定分布的例子，直线上的退化分布(degenerate distribution)也是一个稳定分布.稳定分布是无穷可分分布(infinitely一divisible山stributi(〕n);对于指数为“_且O<仪<2的稳定分布，其L如y典范表示(L亡四canonjcal化Presentation)有特征。2=0， C._C， 了V1它X)二—了V吸X】二一— }xl一x- c.)0，eZ)0，c一+eZ>0，下为任意实数. 一个稳定分布，除退化情形，必定具有密度.这个密度是无穷次可微的，单峰的，凤在整个实轴或半轴上异于零.对于指数为“且O<仪<2的稳定分布，关系式 丁}x}占，(;)、x<二，丁.x}’，(x)dx一二， 一泊_〔〔成立，其中占<，，P(x)是该稳定分布的密度.稳定分布密度的明显形式只有很少情形是已知的.稳定分布理论的基本问题之一是刻画它们的吸引域(见稳定分布的吸引域(attraetiondo~of a stab】e distribu-tion)). 在稳定分布集合中，还可以挑选出严稳定分布(strictly一51泛lble distribtltion)集，它们使方程(l)当b、二bZ二b二o时成立.指数为:(:拼均的严稳定分布的特征函数由公式(2)置d=0给出，而民=l的严稳定分布只可能是Cauchy分布.谱正(负)稳定分布由其L己Vy典范表示中M(x)=O(N(x)一0)这一事实所表征.谱正稳定分布的Lap玩c变换当Res)O时存在: fcxD、一。、一、、飞.:1，其中p(x)是指数为二的谱正稳定分布的密度，0<仪<2，c>0，d为一实数，而多值函数Ins，。“则选择使当s>O时ins为实数及s“>0的那一支. 与无穷可分分布一样，稳定分布对应于平稳独立增量的齐次随机过程.具有独立增量的随机连续的齐次随机过程{‘(下)“丁)o}称为穆考即(s table)，如果其增量x(1)一x(0)有稳定分布.【补注】在差不多所有的文献中，稳定分布的特征函数都包含一个符号的错误，改正的公式见〔All.

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