补充资料：极限环

极限环
limit cycle

　　极限环[丘‘t仃cle;即e八e刀、。‘益u~] 常微分方程自治系统(auto加mous syst已111)相空间中的一条封闭轨道，它是该系统的至少一条其他轨道的以极限集或。极限集(见轨道的极限集(】坛币tsetofa咧eetory”.极限环称为轨道稳定的(。rbit sta-ble)或稳定的(stable)，如果对任意的:>O，存在。>0懂禅茬它的一个。邻域内当。=0时出发的所有轨道，对t>O不离开它的￡邻域(见轨道稳定性(。前stability)).一个极限环对应于系统的一个不为常数的周期解.为了使一个周期解对应一个稳定的极限环，充分条件是除一个乘子外它的所有乘子的模都小于l(见特征指数(c加.cte市tic expo戊Ilt);An即。即B一V六tt定理(八门山。nov一Witttheolelll)).从物理观点来看，极限环对应于系统的周期特性或自振(autOOscillation)(见[2]). 设定义在区域UCV”内的自治系统 交=f(x)(*)有一闭轨道r，其中V”是一微分流形，例如V”=R“.在P点引与V”相截的超平面二.那么，t=0时从点。eV仁二出发的系统的每一条轨道，当t增加时在点T(c)再次与7T相交，V是p的一个充分小的邻域.微分同胚T:V~T(V)有不动点p，并称为B曲℃a说返回映射(Poincar6 retUm map)·它的特性决定了在r的一个邻域内系统轨道的性质.一个极限环和任一闭轨道的差别在于它总是决定一个不是恒等的Poinc疵返回映射.如果p是微分同胚T的一个鞍点，那么极限环r称为鞍型的(of歇班dd】e tyl姆).具有一个鞍型极限环的系统可有同宿曲线，即可有这样的轨道，对于它们极限环既是“极限集又是田极限集. 在二维系统(，)(V门二RZ)的情形下，将兀取为直线，且考虑函数p，风c)二T(。)一c，称为Poin-c毗返回函数(Poinc耐retum function).p的零点c=p的重数称为极限环的重数(m』tiplicity of the lim‘it cwk).偶重数的极限环称为半稳定的(~一sta-ble).极限环与静止点和分界线(sepam川x)共同决定其他轨道性质的定性图形(见Po七比ar会一Ben血son理论(几inca觉一段11di朋on流ory)以及f3]，[4]).在解析函数.f的情形下，极限环属于下列三种类型之一:1)稳定的;2)不稳定的，即对t的反方向是稳定的;3)半稳定的.例如，系统 又:=一。xZ十拜x.(x}+式一l)介， 又2=。x，+#二2(x{+式一1)“，(其中。铸0，井=常数，k〔N)对料<0(召>0)和奇数k有一个稳定的(不稳定的)k重极限环，对偶数k有一个半稳定的k重极限环.在所有的情况下，极限环是圆x}十x;二l，即解 x，=eos(田t+职.，)，xZ=sin(田t+甲。)的轨道.如果系统(*)给定在单连通区域UC=RZ上，那么极限环至少包围系统的一个静止点. 为了寻求二阶系统的极限环，采用基于下面事实的方法:如果向量场f是向内(向外)指向一个环形区域G，而且如果G不包含静止点，那么在G中至少有一个稳定的(不稳定的)极限环.G的选择是基于物理的考虑，或者解析和数值计算的结果.【补注】以上给出的所有定义可对任意的动力系统来表述，并不一定要用常微分方程自治系统来定义.大部分结果在那种情况下仍有意义.对于Poincar6一玫n-dixson理论，亦见例如[AI]，Seet.皿.1.[幻]是另一个很好的全面的参考文献.
　　

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