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1)  Klein bottle polyhex
二部克莱茵瓶六角系统
1.
In this paper,we consider the forcing number of a bipartite Klein bottle polyhex K(p,q,t) with a torsion t,a cubic graph embedded on Klein bottle with every face being a hexagon.
给出了二部克莱茵瓶六角系统K(p,q,t)的强迫数下界,并表明当p≤q时,K(p,q,t)的最小强迫数为p;若q
2)  Klein Bottle
克莱茵瓶
1.
Maximum Genus of Graphs Embedded in the Klein Bottle;
嵌入在克莱茵瓶上的图的最大亏格
3)  Klein
克莱茵
1.
A Dissertation on Melanie Klein s Theory on Object-relation of Early Child;
论梅兰妮·克莱茵的儿童早期客体关系理论
4)  kleinian group
克莱茵群
5)  Klein Index
克莱茵指数
1.
On the Nonexistence of the Utility Function, Demand Functions and Klein Index for Poverty-stricken Consumers;
论贫困消费者的效用函数、需求函数及克莱茵指数的不存在性
6)  klein coordinates
克莱茵坐标
补充资料:克莱因瓶
Image:1164261401747561.jpg
克莱因瓶

在1882年,著名数学家菲立克斯•克莱因(felix klein)发现了后来以他的名字命名的著名“瓶子”。这是一个象球面那样封闭的(也就是说没有边)曲面,但是它却只有一个面。在图片上我们看到,克莱因瓶的确就象是一个瓶子。但是它没有瓶底,它的瓶颈被拉长,然后似乎是穿过了瓶壁,最后瓶颈和瓶底圈连在了一起。如果瓶颈不穿过瓶壁而从另一边和瓶底圈相连的话,我们就会得到一个轮胎面。

具体分析

我们可以说一个球有两个面——外面和内面,如果一只蚂蚁在一个球的外表面上爬行,那么如果它不在球面上咬一个洞,就无法爬到内表面上去。轮胎面也是一样,有内外表面之分。但是克莱因瓶却不同,我们很容易想象,一只爬在“瓶外”的蚂蚁,可以轻松地通过瓶颈而爬到“瓶内”去——事实上克莱因瓶并无内外之分!在数学上,我们称克莱因瓶是一个不可定向的二维紧致流型,而球面或轮胎面是可定向的二维紧致流型。在数学上,我们称克莱因瓶是一个不可定向的二维紧致流型。

如果我们观察克莱因瓶的图片,有一点似乎令人困惑——克莱因瓶的瓶颈和瓶身是相交的,换句话说,瓶颈上的某些点和瓶壁上的某些点占据了三维空间中的同一个位置。但是事实却非如此。事实是:克莱因瓶是一个在四维空间中才可能真正表现出来的曲面,如果我们一定要把它表现在我们生活的三维空间中,我们只好将就点,只好把它表现得似乎是自己和自己相交一样。事实上,克莱因瓶的瓶颈是穿过了第四维空间再和瓶底圈连起来的,并不穿过瓶壁。这是怎么回事呢?

我们用扭节来打比方。如果我们把它看作平面上的曲线的话,那么它似乎自身相交,再一看似乎又断成了三截。但其实很容易明白,这个图形其实是三维空间中的曲线,它并不和自己相交,而且是连续不断的一条曲线。在平面上一条曲线自然做不到这样,但是如果有第三维的话,它就可以穿过第三维来避开和自己相交。只是因为我们要把它画在二维平面上时,只好将就一点,把它画成相交或者断裂了的样子。克莱因瓶也一样,这是一个事实上处于四维空间中的曲面。在我们这个三维空间中,即使是最高明的能工巧匠,也不得不把它做成自身相交的模样;就好象最高明的画家,在纸上画扭结的时候也不得不把它们画成自身相交的模样。题图就是一个用玻璃吹制的克莱因瓶。

性质

从拓扑学角度上看,克莱因瓶可以定义为矩阵[0,1] × [0,1],边定义为 (0,y) ~ (1,y) 条件 0 ≤y≤ 1 和 (x,0) ~ (1-x,1) 条件 0 ≤x≤ 1

可以用图表示为


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就像莫比乌斯带一样,克莱因瓶没有定向性。但是与之不同的是,克莱因瓶是一个闭合的曲面,也就是说它没有边界。莫比乌斯带可以在三维的欧几里德空间中嵌入,克莱因瓶只能适用于四维空间。

克莱因瓶与莫比乌斯带

大家大概都知道莫比乌斯带。你可以把一条纸带的一段扭180度,再和另一端粘起来来得到一条莫比乌斯带的模型。这也是一个只有一莫比乌斯带、一个面的曲面,但是和球面、轮胎面和克莱因瓶不同的是,它有边(注意,它只有一条边)。如果我们把两条莫比乌斯带沿着它们唯一的边粘合起来,你就得到了一个克莱因瓶(当然不要忘了,我们必须在四维空间中才能真正有可能完成这个粘合,否则的话就不得不把纸撕破一点)。同样地,如果把一个克莱因瓶适当地剪开来,我们就能得到两条莫比乌斯带。

除了我们上面看到的克莱因瓶的模样,还有一种不太为人所知的“8字形”克莱因瓶。它看起来和上面的曲面完全不同,但是在四维空间中它们其实就是同一个曲面——克莱因瓶。

克莱因瓶的制造

事实上,德国数学家克莱因就曾提出了“不可能”设想,即拓扑学的大怪物——克莱因瓶。

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参考词条