补充资料：共振理论

    　　研究摄动量级数解中共振奇点的理论。这种共振奇点的问题与一般力学中的共振现象有些类似，因此亦称为共振问题。
　　
　　对于自然天体（大行星、小行星等），在摄动量级数解的周期项振幅中会出现1/(pn-qn┡)这种因子,n和n┡分别为被摄天体和摄动天体的平均角速度，p和q为正整数。当n/n┡=q/p┡时,pn-qn┡=0，出现共振奇点，级数解失效。这就是所谓通约问题。对于人造地球卫星，则有两种共振奇点：一是地球的非旋转对称部分（即地球引力场位函数球谐展开式中的田谐项）对卫星的摄动将产生共振奇点，这时n┡表示地球自转角速度；另一是由于带谐项摄动，在长周期项振幅中会出现1/(4-5sin²i)形式的因子，当卫星轨道倾角i=i_c=63°26┡或116°34┡时，4－5 sin²i=0，级数解又失效，i_c称为临界角，相应的就是临界角问题。
　　
　　当初始条件满足pn-qn┡=0或4－5sin²i=0时,级数解中出现无穷大项。但这只意味着级数解失效，绝对不能说明轨道要素真的会变为无穷大。运动方程本身并无这样的奇点，根据常微分方程解的存在唯一性定理和解对初值的连续性可知，天体轨道的变化通过上述"奇点"时，仍然是连续的。太阳系中的脱罗央群小行星和同步卫星等都是对应于n/n┡=1/1的情况（见脱罗央群小行星的运动），还有不少轨道倾角接近临界角的人造地球卫星，它们的轨道变化并无反常现象。因此，上述奇点问题是方法本身带来的，只要在方法上作些改变就不会出现了。对人造地球卫星的运动，用初始轨道要素作为起点的古典迭代法，根本不会出现临界角问题。综上所述，通约和临界角这样的共振奇点并非本质的，完全可以改用适当的方法来排除。
　　
　　解决一个具体问题时，可以采用某种特定的方法来避免共振奇点;要彻底解决问题,则必须搞清楚天体在共振奇点附近的运动特征。科尔莫戈罗夫等人在研究哈密顿方程解的稳定性时，讨论过共振带的性质。加芬克等人研究了关于地球位函数的带谐项J₂、 J₄和田谐项J_2，2对卫星的摄动，把通过正则变换消除短周期项后的哈密顿函数统一写成下列简化形式：H=A(y)+B(y)cos 2x,
　　式中|B/A|=0(ε)，对于临界角问题,ε=J₂;对于通约问题，ε=|J_2，2|。(有时也将B(y)写成εB(y)或μ²B(y),μ=ε^1/2, 此时|B/A|=0(1)。如果研究全部带谐项摄动时，取其主要项，相应地为：H =A(y)+B₁(y)sin x +B₂(y)cos 2x,|B₁/A|和|B₂/A|的量级均为ε(即J₂)。这种简化所对应的问题亦称理想共振问题。共振奇点就发生在dA/dy=0处，相应地 pn-qn┡=0或4－5 sin²i=0,确切地说，这仅是H 所确定的运动平衡态的必要条件。根据这一条件，用研究xy平面(相平面)上奇点性质的定性方法，可以给出共振区域(即运动平衡态的邻域)的运动状况。堀源一郎和加芬克等人从分析方法的角度,对J₂和J₄或J_2，2项，用正则变换继续消除H中的x(即消除长周期项)，但不是按ε，而是按ε^1/2展开，这样也可得到共振区域内的某种运动解，在一定程度上给出了共振奇点附近的运动特征。
　　
　　共振理论也被用于研究太阳系天体的动力学演化问题。太阳系的天体几乎都可以说是满足通约条件 n/n┡=q/p的，如木星与土星约为5/2,海王星与冥王星约为3/2，脱罗央群小行星与木星是1/1，......;而且还有通约带是空隙（几乎没有或很少发现小行星）等问题（见小行星环的空隙）。用共振理论来研究这些现象，至今仍未得到本质性的结论，只是在某种程度上作些解释而已。
　　

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