补充资料：主齐性空间

主齐性空间
principal homogeneous space

主齐性空间〔，灿c加目肠腼帐即~职ce;r几阳.Oe。皿-HOPO八110e npocTPallcTBO] 代数簇或概形范畴里的主G对象(p~iPalG-object).如果S是概形(scbenr)，r是S上群概形(gro叩sche此)，则r上概形范畴里的主G对象称为主齐性空间.如果S是域k的谱(见环的谱(spec-t~of ar毗)，r是代数k群(见代数群(日罗braicgro叩))，则r上主齐性空间是一个代数k簇v，f(从左边)作用于v上使得当把此换成它的可分代数闭包万后，每个点，。V味)可定义簇价与r下间的同构映射g~gy.主齐性空间v为平凡，当且仅当V(k)非空.光滑代数群r上的主齐性空间的同构类的集合可被等同于C习成s上同调(G司川5 coho·订幻10gy)的集合H‘(k，r).在一般的情形下，S群概形r上的主齐性空间的类的集合等同于一维非Abe】上同调的集合H’(S:，r)，这里S:是概形S上的某个Grothe.由“盘拓扑(Grothendieck topoloJ罗)([2」). 主齐性空间已在很多情形下被计算过.如果k是有限域，则在连通代数k群上的主齐性空间都是平凡的(Lang定理(助ngthe~)).当k为p进数域目r为单连通半单群时，这个定理仍正确(K力eser宇理(Kneser‘heorem))·如果f二r。，、是乘性S群概形，则r上主齐性空间的类的集合等同于S的乃eard群(到eard group)巧e(S).特别当S是域的谱时，这个群是平凡的.如果r二r“，、是加性S群概形，则r上主齐性空间的类的集合等同于S的结构层才、的一维上同调群H‘(S，刀、)，特别当S是仿射概形时这个集合是平凡的.如果k是整体域(即代数数域或单变量代数函数域)，则代数介群r上的主齐性空间的类的集合的研究是以对Tate一ma中a-peB别集川(r)的研究为基础的，111(r)是由r上这样的主齐性空间构成，它们在关于k的赋值的所有完全化k:里都有有理点.如果r是域k上的Abel群，则r上的主齐性空间的类的集合成为一个群(见Weil一Ch盈t康t群(We丑~(〕血elet gro甲)).【补注】主齐性空间的概念并不局限于代数几何，例如它在G集合的范畴里被定义，这里G是一个群.设G是有限(投射有限，等)群.E是一个G集合(G一set)，即带有G作用G xE~E的一个集合E.设r是一个G群(G一gro印)，即G集合范畴里的一个群对象，这意味着r是一个群而且G在r上的作用是T的群自同构:(xy)’二x’y7对下〔G，x，y任r.如果存在E上的一个r作用r xE~E使得(y、)“=(，“)(x“)对g任G，)〔r，x任E，则称r与G作用相容地左作用于E上.在这个架构里的r上的主齐性空间(p~ipal hoTnogeneous sPace)是一个G集合P，r与G作用相容地作用于其上，使得对所有的x，y〔尸存在炸r使y二下x.(这正是术语“主”所提示的性质，人们也说P是r上的仿射空间(affille sPace)).在这种情形下，H’(G，r)与r上主齐性空间的同构类间存在自然的一一对应，而且事实上H’(G，r)(对于非Abel的r)有时就是用这种方式定义的.陈志杰译

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