补充资料：有限差分演算

有限差分演算
finite-difference calculus

艺f(x)= x=0 +馋{令:(一(·卜f(一(。)}+ 且_装l_二、_ +共y_f‘七，(x+8)， k!月oJ这里O<0<1(一般而言，0依赖于n)，及是B‘，。阅正数(卫比叮幻函n山刊比rs).如果f是次数小于k的多项式，则余项为零. 有限差分计算中的问题与微积分中的问题有相似性.求差分的运算对应于求导数;方程(2)的解，作为一种运算，就是求有限差分的逆，对应于求原函数，即不定积分.公式(3)是N台泊刀一Ld加血公式(N七wton一此ibn沈fonn创以)的直接类比.这种相似性导致考虑有限差分方程.有限差分方程就是一种关系式 F(x，f(x)，盯(x)，二’，△.f(x))，0，其中F是给定函数，f是未知函数.如果一切△丫(x)都用f(x)，f(x+l)，…，f(x+n)表示，则有限差分方程可以写成 。(x，f(x)，f(x+l)，…，f(x+n))=0.(4)解出f(x+”)得 f(x+n)=价(x，f(x)，·‘.，f(x+n一l)).(5)给定初始值f(x。)，二，f(x。十n一l)，就可以依次求得f(x。+n)，f(x。+九+l)，等等.从(4)解出f(x): f(x)=中(x，f(x+l)，…，f(x+”)).令x=x。一1，便可以求得f(x。一l)，然后求得f(x。一2)，等等.因此，根据初始数据从上面的方程可以求得f在一切点x。+k上的值，其中k是整数.对x=0，1厂，一，考虑线性方程 f(x+北)+Pl(x)f(x+丸一l)+ +…+p:(x)f(x)=Q(x)，(6)其中p:(x)，…，p‘(戈)和Q(x)是在集合x=0，l，…上给定的函数.非齐次方程(6)的通解是非齐次方程的一个特解与齐次方程 f(x+k)+Pl(x)f(x+k一l)+ +…+几(x汀(x)=0(7)的通解的和.如果五，…，fk是(7)的线性无关的解，则(7)的通解由公式 f(x)=c If;(x)寺…+‘*人(x)给出，这里c:，…，c*是任意常数.常数cl，…，叭可以通过规定初始条件，即f(0)，…，f(k一l)的值来确定.在常系数方程 f(x+k)+a If(x+k一l)t+…+a*f(x)“0 (8)的情况下容易求得线性无关的解f，，…，f*(基础解系).(8)的解写成f(x)=又‘.又的特征方程是: 犷+al犷一1十…十ak=0. 假设特征方程的根又、，…，又*互不相同，则对，…，戏是(8)的基本解组且(8)的通解可以写成: f(x)=e，又亡+二‘+e*又之.如果又，是特征方程的s重根，则相应于又;的特解是对，x对，…，扩一’对. 举例而言，假设考虑从0和1出发的数列，而每个后续的数都是与之紧接的前二数之和:0，1，1，2，3，5，8，13，…(肠h.以幼数(Fibo刊鱿幼num-比朽)).求这数列的一般项.令f(x)，x=0，1，…是这数列的一般项;条件 f(x+2)=f(x+l)+f(x)，f(0)=0，f(l)=l组成一个带有给定初始条件的差分方程，它的特征方程是扩一又一1=0，其根为又，=(1+办)/2，又2=(卜办)/2.所以 自+、仄1’「l一、仄1‘ j一“’一“IL一寸一」+几匕亡习;ct=l/办，几=一l/办由初始条件得到. 不仅当x离散地取值O，1，…时，而且当x连续变化时都可以得到方程(4).设f是定义在半开区间fo，n)上的任意函数.由(5)令x二O便得到f(的.如果f在【0，n)上连续，则f可以在闭区间【0，n]上不连续，如果希望有连续解，则f必须定义在【0，n)上，使得由(5)可以证明它在【O，司上是连续的.根据f在【O，nJ上的信息，由(5)可以在x任(n，n+11上，然后在x任(。+l，n+21等等区间上求出f(x). 较(8)更一般的方程是 f(x+h*)+a:f(x+h*一:)+”’+a一f(x)=0.(9)这里0<气<…以上收敛，在这个半平面上是解析函数，并且在任意半平面Rex)刀>以上满足下面条件(这里。>O): If(re‘中)I<“r‘(甲)r’+‘千‘/， h(中)=以毋in(2姗甲)+价sin毋.反之，设f在某半平面上解析并且有类似的〔或更好的)增长阶，则它可以表示成级数(1).因此，只有十分狭窄的一类函数(仅仅是具有上述增长阶的解析函数)可以展成级数(l)(所谓的卜贻wto们级数(卜贻wton~)).当结点是一般复数时要研究N七wton级数.这类级数在超越数论中有较大的应用.现假设插值结点形成三角形排列xo，o xl，o，x一，- x，，ox、，一”‘x，.，试由第怜十1行上的结点来构造插值多项式尺.当”~的时，尸，收敛到f的函数类了依赖于结点的排列.例如，设 Zk十I X_，=O粥—究。火=U。.’。炸 乙n(x。，*是、6oule.多项式(C比b，腼加加幻几山山)的根)，则为了插值过程在区间【一1，l]上收敛，只需要满足下面条件: 恩COI青」in一。，这里。(占)是f在卜1，l]上的连续模(m记川比of印ntin山ty). 有限差分计算中的另一个重要问题是函数求和的问题.设f是给定函数.当已知f的某些解析性质时，对固定的x。，h和大的n值，要求用精确的或近似的有限形式求和 S。=f(x。)+f(x。+h)+…+f(x。+冷h).换言之，要研究当”~的时，S，的渐近性态.设x。=0，h二l(为简单起见).假设可以找到函数F，使得 △F(x)=F(x+1)一F(x)=f(x)，(2)则 又=F(n+l)一F(0).(3)例如，设f(x)=x’.方程(2)的解写成具有待定系数的三次多项式 Q(x)=ax，+bx，+cx.代人方程(2)并使等式左、右端x的相应次幂系数相等，此时多项式为 。，、x3 xZ .xx(x一l、(Zx一l、 U‘x)=一一‘卜十二=一 ‘、一产32’66以及 卫些土』上边土且=12+2，+…+。2. 6一’一 方程(2)的解并不总是具有有限形式的.所以求凡的近似公式是有用的.D自留一搜肠dj扭如公式(E己er-M出主之uI勿几门叫血)就是这种公式.设f有k阶导数，盆是偶数，则Eder一MacLaurin公式可以写成日Zu“(x .v+Av)一Zu(x.v)+u(x.v一Av)即‘一△犷代替加p枷沈方程便得到线性方程组: 四匕土查红坦二三生典卫土四达二些址应十 △X‘十州乙里竺边乙二三虹典且土吐匕匕』之钊. 匆‘点(x，y)跑遍小矩形单元的一切落在原矩形内部的顶点.因此，构成了(N一1)(M一l)个方程且有相同个数未知数的方程组.解这个代数方程组，便得到“在小矩形单元顶点上的值.当△x，△y很小，问题的解有一定的光滑性，则这样得到的值是接近于精确值的. 有限差分计算是与数学分析的主要分支平行地发展起来的.有限差分计算最早出现在P .Fe而。t，I助月℃w和G.让如血的工作中.到18世纪它已成为独立的数学学科.B.T码如r在17巧年首先系统地论述了有限差分计算.19世纪数学家的研究成果为有限差分计算的近代分支莫定了基础.有限差分计算的思想和方法在复变数解析函数和数值数学的应用中获得充分的发展.乙(兄)二eh“‘+a:eh‘一’“+…+凡=o的根.这个方程有无穷多个根又:，又2，·…因而，(9)有无穷多个特解砂，’，附二l，2，·…假设所有的根都是单根.要用这些初等特解来表示(9)的解，把方程写成下面形式是比较方便的: 了f(x+，)d，(，)一o，:一h*，(，o) 0这里叮(t)是在点O，h:，…，h*上跳跃分别为a*，a*一，，…，1的阶梯函数.令 *，(:)=‘彩共(。孟，;d。(;)，，)1. 工尹(*，)咨-函数价，(t)具有性质: 丁。‘·“·“，“‘一‘。， 0份二，=l当爪=v，占，，二0当m尹v)，即它们与{沙‘}组成双直交系·基于此，(10)的解f对应于级数 f(x)一瓜c·e，’‘，(，，) ·，一了f“，‘，“’“· 0如果(9)具有形式 f(x+2二)一f(x)=O(12)(即f是以27T为周期的周期函数);L(x)=扩”一七方程L以)=O的根是川i(m=0，士1，…);(11)是f的复数形式Fo~级数.级数(11)可以看成是最简单的差分方程(12)相应的Fou们巴r级数推广到差分方程(9)的情形.在某些条件下，级数(川收敛到解f如果f是解析函数，则(9)可以表示成无穷阶方程(叫叮由们of如肠拍teo找ler) 。凰二f‘”，(x)一”· 多变量函数的差分用类似于单变量函数差分的方法引进.例如，在矩形区域0簇x簇a，o

说明：补充资料仅用于学习参考，请勿用于其它任何用途。