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1)  Mixed spherical harmonic-generalized Laguerre interpolation
球面调和-广义Laguerre混合插值逼近
2)  Mixed spherical harmonic-generalized Laguerre approximation
球面调和-广义Laguerre混合逼近
3)  Mixed Fourier-generalized Laguerre interpolation
Fourier-广义Laguerre混合插值逼近
4)  Mixed Fourier-generalized Laguerre orthogonal approximation
Fourier-广义Laguerre混合正交逼近
5)  interpolation and approximate
插值和逼近
6)  spherical harmonics approximation
球面调和函数逼近
补充资料:埃尔米特插值多项式逼近
      埃尔米特插值是一种常见的插值方法。假设在区间[α,b]上给定了n个互不相同的点x1,x2,...,xn以及一张数表 (*)记m=α12+...+αn。早在 1878年C.埃尔米特就证明:存在惟一的次数不高于m-1的代数多项式Hn(x),使得
  ,Hn(x)为表(*)的以 为结点组的埃尔米特插值多项式。如果定义在[α,b]上的函数 ??(x)在xk(k=1,2,...,n)处有αk-1阶导数,并取,则称相应的Hn(x)为??(x)的以为结点组的(α12,...,αn)阶埃尔米特插值多项式。作为特殊情况,若诸αk都为1,则Hn(x)就是??(x)的拉格朗日插值多项式;若n=1,则Hn(x)为??(x)的α1-1阶泰勒多项式。最使人们注意的是诸αk都为2的情况,这时Hn(x)为次数不高于2n-1的代数多项式。如果写
  
  
  
  
  
   Hn(x)可表示为
  
   在这种情况下,常取,而给以适当的限制。这个想法大致起源于拉格朗日插值多项式的研究。为了改善插值多项式的逼近度,需对其导数作一定的要求。
  
  为了简单,考虑定义区间为[-1,1]的情况。L.费耶尔首先让,称为函数??(x)的埃尔米特-费耶尔插值多项式。如果取切比雪夫多项式Tn(x)=cos(n arc cos x) 的零点全体为结点组, 则有绝对常数с,使得对于[-1,1] 上的任一连续函数??(x)都有式中-1≤x ≤1,ω(??,δ)为??(x)的连续性模。然而,用??n(??,x)逼近??(x)有其饱和性,逼近阶最多为1/n。若关于[-1,1]上的x均匀成立,则??(x)是个常数。但是对于其他结点组,会有较大的差异。例如,取勒让德多项式的零点全体为结点组时,对于[-1,1]上的连续函数??(x),相应的??n(??,x)仅可能在(-1,1)中内闭一致收敛于??(x),为了使n→∞时,Fn(??,x)在[-1,1]上一致收敛于??(x),充分必要条件是。这种在区间端点发生奇异的情况并不很稀有,它促使人们去改变端点的插值情况。P.图兰首先提出在区间端点xon=1,xn+1n=-1处取值与函数取值相同的要求。从而构造了拟埃尔米特-费耶尔插值多项式Q2n+1(??,x),即假定结点组是取在开区间(-1,1)中的,而2n+1次代数多项式Q2n+1(??,x)满足条件,
  
   。这时,如取为Xn(x)的零点全体,则。当然也可以考虑仅在一端插值的情况。然而,倘若将端点作为结点,又会发生剧烈的变化。例如,取,
  
   ,则以 为结点组的埃尔米特-费耶尔插值多项式序列Fn+2(??,x),对于 ??(x)=x2这样好的函数,也会在(-1,1)中处处发散。而取
  为结点组时,相应的Fn+2(??,x)对于连续函数??(x)却有逼近阶。埃尔米特插值多项式可以从各方面扩充。例如,可以在某些结点处放弃对某些阶导数的要求,这就是所谓伯克霍夫插值。其中常见的是(0,2)插值,也即对于给定的结点组以及数组,,要确定一个次数不高于2n-1的代数多项式使得,,(k=1,2,...,n)。当取αkn=??(γkn)时,考虑S2n-1(??,x)对??(x)的逼近,也可以考虑埃尔米特插值多项式对函数及其导数的同时逼近。例如,取为结点,对于[-1,1]上的可微函数,考虑
  
   对??(x)及??'(x)的同时逼近。此时有至于对于无限区间或周期函数的情形,自然也可作类似的讨论,只是在周期的情形,有时插值三角多项式却未必存在。
  
  至于??(x)的(α12,...,αn)阶埃尔米特插值多项式Hn(x)对??(x)的逼近,如果??(x)在[α,b]上有m阶导数,则在[α,b]中有与x有关的点ξ使得,式中。
  

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