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1)  non-convergent series
非收敛级数
2)  nonabsolutely convergent series
非绝对收敛级数
3)  convergent series
收敛级数
4)  convergence of series
级数收敛
1.
This paper is focused on the relationship between the convergence of series and the limitation of series.
通过实例从正反两方面探讨了数项级数收敛与数列极限的相互关系,在此基础上给出了数列收敛与级数收敛判定准则的一个充要条件。
5)  series convergence
级数收敛
1.
One succinct proof about the modulus of S—family function and its derived function having upper bound is given by Bieberbach conjecture and the definition of series convergence.
运用Bieberbach猜想及级数收敛的定义获得了S族函数及其导函数的模有上界的简洁证明。
6)  subseries convergence
子级数收敛
补充资料:一致收敛级数


一致收敛级数
uniformly-convergent series

一致收敛级数[恤西团闹y一e阅vergent series;paBHoMe-Poo exo皿:山,益e二P,及」 具有(一般地)复数项的函数级数 艺a。(x),xox,(l) 月=l使得对任意£>O,存在(与x无关)n:,对所有n>n:及所有x〔X, 15,(x)一s(x)l<。·其中 ‘。(x)一*万ta*(x), s(x)=艺。*(x). k‘1换言之,部分和序列、。(x)是一致收敛序列.一致收敛级数的定义与下述条件等价: ·叭资鹭I:。(x)1一。,它表示级数(l)的余项序列 r。(x)=艺a*(x),。一l,2,一, k=,一+1在x中一致收敛(uniform convergence)于零. 例.级数 于兰一。· 门三1儿!在复平面的每个有界圆盘上一致收敛,但在整个C上不一致收敛. 级数一致收敛的eal劝y准则(Cauchy criterion)给出了级数(1)在X中一致收敛的条件(不用级数的和).级数一致收敛的充分条件由weierstrass准则(关于一致收敛的)(Weierstrass etiterion(forUn-而rm conve华ence))给出. 级数艺篡,。。(x)称为在集合X中正则收敛(re-g山arly convergent),如果存在收敛的数值级数艺:”(“,.)0),使得对所有n=1,2,…及所有x〔x, }a。(x)}延“。,即(1)满足一致收敛Weierstrass准则的条件.这个准则较强的结果是,X中正则收敛级数在该集合中一致收敛.其逆一般不成立;然而,对X中一致收敛的任意级数,将其项逐次组合成为有限个组后所得级数,在X中正则收敛. 有些关于级数一致收敛的准则类似于数项级数收敛的Dirichiet准则及Abel准则.一致收敛的这些判别法,最先出现在G.H.Hardy的论文中.若级数 艺a。(x)b。(x)(2)中函数“.(x)与b。(x)(n二1,2,…)定义在x上,序列{“(x)}对每个x〔X单调,且在X中一致收敛于零,艺b。(二)的部分和序列{B,(:)}在x中一致有界,则(2)在这个集合中一致收敛. 若序列笼。。(;)}在X中一致有界,且对于每个固定的.、。x单调,级数艺b。(x)在x中一致收敛,则(2)也在X中一致收敛. 一致收敛级数的性质.若两个级数艺。。(幻,艺b,(、)在x中一致收敛,、,拜。c,则级数 艺又a。(x)+尸b。(x)也在X中一致收敛. 若级数艺。。(x)在x中一致收敛,b(x)在x中有界,则艺b(x)“。(二)也在x中一致收敛. 级数和的连续性(contilll五ty of the sum ofaseries).在函数级数和的研究中,也使用“一致收敛的点”这个概念.设X是拓扑空间,级数(l)在X中收敛.点x们已x称为(l)的一致收敛的点(pointoft山iform eonvergenee),如果对任意£>0,存在x。的一个邻域u一u(x。)及数。:,使得对所有x6U及所有月>n,不等式}:。(x)}<£成立. 若X是紧集,则级数(1)在X中一致收敛的充要条件是每个点x任X都是一致收敛的点. 若X是拓扑空间,级数(l)在X中收敛,x〔〕是(l)的一致收敛的点,且有如下有限极限. 腼a。(义)=c。,n=I,2,…,则数值级数艺。:收敛,(l)的和、(x)当、~x。时有极限,同时 煦。“(x)一煦。a。(x)一艺c。·(3)即在对于(l)的假定下,可以按公式(3)的意义逐项取极限.由此得出,若(l)在X中收敛,且其项在一致收敛的点x06X连续,则它的和也在该点连续二 煦。“(x)一艺煦。a。(x)一艺a。(x。)一、(x‘,)· 因此,若连续函数的级数在拓扑空间中一致收敛,则它的和在该空间连续.当X是紧统且(1)的项在X中非负时,(l)的一致收敛也是和在X中连续性的必要条件(见肠城定理(D面t址”~)). 一般情况下,若级数(l)在拓扑空间X中收敛,且所有项均在X中连续,则级数(1)的和连续的充要条件是,部分和序列、。(x)伪一致收敛(qUasi-朋iform eonvergenee)于和s(x)(An笼拍一AneKeaH-江poB定理(Arzel么一Ale]侣andJ旧v theoreln)). 回答收敛函数级数(这些函数在一区间上连续)一致收敛的点存在性问题,是由osgood一Hobson定理(059仪心一Hobsonthe~)给出的:若(l)在区间【a,bl中每一点收敛,项a。(x)在【a,bl上连续,则存在[a,b]中级数(l)一致收敛的点的处处稠密集.由此得出,在某区间收敛的任何连续函数级数的和,在区间的一个稠密集上连续.与此同时,存在在区间中所有点都收敛的连续函数级数,其不一致收敛的点组成该区间中的一个处处稠密集. 一致收敛级数的逐项可积性.设X=【a,b].若级数 艺a。(x),x。[“,占](4)的项在【a,b」上Riemarm(Lebesgue)可积,且(4)在该区间中一致收敛,则其和s(x)也在【“,b]上凡~(Lebesgue)可积,且对任意x《。,b]有等式 丁、(。)、:一丁。艺。。(。)IJ。一艺了。。(。)‘。.(5) “aa上式右端的级数在【a,b]上一致收敛. 定理中,(4)在【a,b]上一致收敛的条件不能用【a,b]上收敛代替,因为有这样的级数,尽管各项是连续函数且有连续和,它在一个区间上收敛,但(5)不成立.与此同时有了各种推广.下面一些结果是对stieltjes积分(Stieltjes integral)给出的. 若g(幻是[a,b]上的递增函数,“。(x)是与g(x)有关的可积函数,(4)在【a,b]上一致收敛,则(4)的和s(x)是与g(x)有关的Stieltjes可积函数, 丁:(:)己。(:)一艺丁。。(:)己。(。).上式右端级数在【a,b]上一致收敛‘ 公式(5)可推广到多变量函数.级数在一致收敛下逐项微分的条件.若(4)的项在【a,b]上连续可微,(4)在区间中某点收敛,(4)的各项导数的级数在「a,b]上一致收敛,则级数(4)本身在【“,b]上一致收敛,其和s(劝连续可微并且 二、(二卜一三丫。(二、一丫~二。_(二). aX aX一aX (6) 定理中,逐项微分所得级数在【a,b]上一致收敛的条件不能用收敛代替,因为存在连续可微函数的级数,它在一个区间上一致收敛,逐项微分得到的级数在区间上收敛,但是原级数的和在整个区间上或者不可微,或者虽可微但其导数不等于各项导数的级数之和. 这个方法要求级数有一致收敛的性质,许多方法要求绝对收敛(见绝对收敛级数(absolutefy eonver-罗11t series)),允许将关于有限和的一些运算法则移植到级数中:对于一致收敛—可逐项取极限,逐项积分和微分〔见(3)一(6)),对于绝对收敛—可以排列级数项的次序而不改变和,级数可逐项相乘. 对于函数级数,绝对收敛的性质与一致收敛的性质互相独立.如级数 导xZ 。局(l+x‘)”它的所有项非负,故在整个坐标轴上绝对收敛,而x二O显然不是一致收敛的点,因为它的和 fl+xZ,当*笋O, “Lx’一飞。,当x一“,在这一点不连续(尽管所有项都连续). 级数 瘩.传提子在整个实数轴上一致收敛,但在任何点不绝对收敛. 参考文献见级数(series). 月.口.Ky月p只B”es撰罗篙龄译
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参考词条