补充资料：Jensen不等式

Jensen不等式
Jensen inequality

J‘曰即不等式〔J‘曰国加即目ty;”ellceRa HeP姗Hc-”。〕，最简离散形式的 不等式 f(又、义，+‘二十又。x。)(义.f(x，)十二+又。f(x，)， (l)其中f是R中某个集合C上的凸函数(见凸函数(实变l的)(e~几汉石。n(ofa旅l】稚由b】e)))，x.‘C，又‘)0，i=l，…，凡，且 石十“‘+又。=1.当且仅当x、=·，二义，或f为线性函数时等号成立.关于凸函数f的 Jer‘en积分不等式(北几艾泊i助笔ral五剑mU却)是: ‘}{又‘￡，·(亡)‘!〕·)、(r)，(·(亡))泛!，(2)其中x(D)C=C，又(r))0(t任刀)且 丁*(。)己。一1. D当且仅当x(t)在D上为常数或f在x(D)上为线性函数时等号成立.如果f是凹函数，则(l)与(2)中的不等号应反向，不等式(l)为0.H6k晓r(【1』)所建立，而(2)则为J .L .Jensen(【2])所建立. 适当选取凸函数f和权幻或权函数又，不等式(l)和(2)就变为一些具体的不等式，其中包括大部分经典不等式.例如，如果在(1)中令f(x)=一Inx，x>0，则得到加权算术平均值(越州面阴石cnrZn)与几何平均值(脚代日的cn篮an)之间的不等式: x;’“’x二’簇又，x、+…+又。x，;(3)对于又一’·一又，=1/”，不等式〔3)取如下形式二 _X，十…+X_ 了，…v、l邝丈‘二己一‘--~‘石二乙 nI补注】」面印n不等式可推广到下述情形:拜为集合DcR中一个叮代数才上的概率测度(pro加b口ity宜出昭u比)，x为L，(料)中的有界实值函数，f为x的值域上的凸函数;此时有一 了()一)·)(，二)d。.关于别的推广，见【A2].

说明：补充资料仅用于学习参考，请勿用于其它任何用途。