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1)  primary arithmetic facts
算术四则
2)  arithmetic [英][ə'rɪθmətɪk]  [美][ə'rɪθmə'tɪk]
n.算术,四则运算
3)  arithmetic [英][ə'rɪθmətɪk]  [美][ə'rɪθmə'tɪk]
算术,四则运算
4)  four arithmetic operations
四则运算
1.
Four Arithmetic Operations of Fuzzy Number by Method of Intersection Point or Discontinuity Point;
模糊数四则运算的交点-间断点法
2.
This paper introduced four arithmetic operations of number sets.
引入了数集的四则运算,研究了数集四则运算后集合确界的性质。
3.
Based on universal grey number four arithmetic operations, this paper puts forward a method of intervals number standard expression and discuss the intrinsic relation and application of standard intervals number four arithmetic operations and universal grey number.
在回顾泛灰数四则运算法则基础上,给出了区间数的标准表示,论述了标准区间数的四则运算法则与泛灰数的内在联系及其应用前景。
5)  four fundamental operations
四则运算
1.
These algorithms have improved on the resultand realized the operations of four fundamental operations with any bits,which can be extended to other programming languages.
利用数据库的存储能力,在FoxPro中,给出了几个整数加、乘和除运算的连接记录的算法,改进了文献[1]中的结果,使任意位大整数的数学四则运算得以实现。
2.
The article defines order-preserving transform of bounded monotone functions on the symmetric interval [-1,1],and applies the methods of fuzzy structured element,the expression forms and correspondent membership of the four fundamental operations of fuzzy numbers based on the fuzzy structured element is obtained.
为了解决模糊数计算上的困难,引入了区间[-1,1]上单调函数的某些同序单调变换,利用模糊结构元理论,将模糊数的四则运算转换为同序单调函数之间的相应运算。
6)  arithmetic operation
四则运算
1.
The arithmetic operation of the general interval numbers has wideapplications.
广义区间数的算术四则运算有广泛应用。
2.
It is given the demonstration that using the definitional method demonstrate binary function s arithmetic operation and compound operation of differential calcultus.
本文给出了用定义法证明二元函数可微性的四则运算法则与复合运算法则。
补充资料:算术
      数学中最古老同时又是最基本的一个分支,它研究数的性质及其运算。arithmatic源于希腊文arithmos,就是"数"(shй)数的意思。"算"字的古义也是"数"的意思,古写为"筭",表示计算用的竹筹,许慎《说文解字》中有"筭,长六寸,所以计历数者",中国古代复杂的数字计算都要用算筹,所以"算术"包含当时的全部数学知识与计算技能,流传下来的最古老的《九章算术》以及失传的许商《算术》与杜忠《算术》,就是讨论各种实际的数学问题的求解方法。
  
  作为现代学校教学科目的"算术"与作为数学分支的"算术"是有差别的。教学科目的算术,除了正整数、分数、小数的性质以及它们的四则运算 (加、减、乘、除)外,还包含量的度量、比、比例等带有实用性质的内容,这是由来已久的传统。而作为数学分支的"算术"则还包含数论的某些初步内容。
  
  数的早期发展  人类在日常生活与生产实践中,由于计数的需要,在文化发展的最初阶段,就产生了自然数的概念。仅有自然数不足以解决生活和生产中常见的分份问题,因之,数的概念的第一次扩张是从自然数扩大到正分数,最初仅认识分子是1的分数,尔后逐渐熟悉了分子是任意自然数的分数及其运算规则。从已有的文献可知,人类认识自然数与分数的历史是很久的,例如,古埃及人很早就有了关于整数和分数的知识,流传下来的莱茵德纸草书(约公元前2000)记载了有关于分数的计算方法。中国殷代遗留下来的甲骨文字中有很多自然数,最大的数字是三万,并且全部是应用十进位制的位置记数法。战国时齐人所写的《考工记》就利用分数的知识,例如,A的长度是B的长度的几分之一,意即"n分其B,以其一为A",而在《九章算术》一书的方程章里,相当完整地介绍了分数的约分、通分以及加、减、乘、除四则运算的规则。中国古代数学主要用来解决实际问题,其中涉及到一些无理数,例如关于正方形的边长与对角线的关系最初表述为"方五斜七"。3世纪时,刘徽提出用继续开方"求其微数"的方法后,可得到十分准确的近似值。引入无理数是古希腊人的贡献,希腊哲学家毕达哥拉斯从直角三角形定理出发,知道边长为1的正方形的对角线的长度r适合关系式r2=2,因此,存在一个"数",其平方为2。但当时仅知道有理数,于是应存在两个自然数α,b,没有真公因数,使得,从而b2=2α2,于是b应是一个偶数,从而α也是偶数,这又与α、b没有真公因数相矛盾。这就是所谓"毕达哥拉斯的两难"。为了摆脱这个困境,只有扩大数的范围,承认存在不能表成分数形式的数,这种新数,就是无理数。后来,欧几里得在《几何原本》中又用几何的方法证明正方形的对角线长与其边长不可通约,进一步说明了无理数的存在。中国古代很早就认识负数及其计算规则,例如,《九章算术》的方程章中就提出用不同颜色的算筹分别表示正、负数(红色算筹表示正数,黑色算筹表示负数),并给出正、负数的加减法规则,即所谓正负术:同名相除,异名相益,正无入负之,负无入正之。这比其他国家的人民利用负数的年代要早得多。至于零的引入,通常认为是大约5世纪以后印度人的贡献。虚数的出现,则是16世纪以后的事。数的知识,经过了漫长的历史发展过程,直到19世纪,才建立严密的理论体系。通常算术里仅讨论自然数、正分数、正无理数,而把其他的数留给代数讨论。
  
  自然数的公理刻画  自然数的概念,在数学上一直把它当作最明显、最基本的概念来应用,多少世纪以来,没有发生用更简单的概念来说明它、定义它的问题;直到19世纪,在数学的公理化方法发展的影响下,才提出"自然数是什么"的问题。按照公理法的要求,数学上每一个概念都希望用更简单的概念来定义,最后归结为几个最基本的不定义的概念;已知概念的每一个性质,也希望由几个不加推导的最基本的性质推导出来。对于自然数,可以用什么样的最基本的概念来定义?哪些是自然数的最基本性质,其余性质均可由它们推导出来?这项工作可以认为发端于G.W.莱布尼茨关于等式2×2=4的证明。由于自然数有两种功用,一种是用来回答"多少个",一种是用来回答"第几个",因此,产生了两种理论:基数理论与序数理论。这个工作是在19世纪末分别由德国数学家G.(F.P.)康托尔和意大利数学家G.皮亚诺完成的。
  
  自然数的基数理论,是以集合间的"一一对应"的概念为基础的。给定两个集合A、B,如果存在一个规则??,对于A中每一元α,在B中惟一确定b(称为α在??下的像),并且,A中不同元确定的像也不同,又B中任一元均为A中某一元的像,那么就说??是A到B的一个一一对应。存在一一对应的两个集合称为等价的。取定一个集合A,把所有与A等价的集合放在一起,作成一个集合的类W,W中所有集合所共有的属性称为A的基数,简而言之,类W本身就称为A的基数。于是,每一个集合均有一个惟一确定的基数,等价的两个集合的基数相同,不等价的集合的基数不同。例如,取A为单独一支粉笔所成的集合,与A等价的所有集合所具有的共同属性,显然就是这个集合所具有的元素个数1。基数概念也就是这样通过比较(一一对应)与分类得出来的。单独一个元素的集合A={α}的基数记为1,将A本身作为元素添加到集合A中,得出集合B={α,A}={α,{α}}的基数记为2,再将B视为元素添加到集合B中,得出的集合C={α,A,B}={α,{α},{α,{α}}}的基数记为3,如此下去,依次得出 1,2,3,...,称为自然数。由单独一个元的集合出发,逐次添加一个元素所得的集合,通常称为有限集,因此,自然数可以定义为有限集的基数。此时集合的基数实际上就是人们通常所熟悉的集合中元素个数。例如,含有三本书的集合E,易知它与上述基数为3的集合C等价,故E的基数为3,也就是E中元素个数为3。为了计数,先要有计数的标准集合(自然数),通过一一对应就可确定所要计数的集合中元素个数,考查一下儿童数数的过程,就可发现确是如此。这样,自然数可以用来回答有多少个的问题。
  
  取定两个自然数α、b。设A、B分别表示以α、b为基数的集合。若A与B等价,由定义知,α=b。若A等价于B的一个真子集合(即由B的部分元素组成的集合),则说α。若B等价于A的一个真子集合,则说b<α。由于A、B是有限集,可以证明,二者不能同时成立(当A、B是无限集时,二者可以同时成立,此时,由伯恩斯坦定理知,A与B等价),因此,这就建立了自然数的顺序关系:对于任意自然数α、b,或α=b,或α),或b<α,三者有且仅有一种情形成立。
  
  取定自然数α、b,设A、B分别表示以α、b为基数且无公共元素的集合(由于A、B可在等价类中任意选取,无公共元素的集合总是存在的),命C表示A、B的并集(即以A、B的所有元素组成的集合),C的基数с称为α、b的和,记为с=α+b,形成和的运算称为自然数的加法。可以证明,自然数的加法适合交换律与结合律。由加法结合律,可知任意b个α相加的结果,与添加括号的方式无关,其惟一结果记为d=α+α+...+α=bα,称为b、α的积,形成积的运算称为自然数的乘法。于是,可以证明,自然数的乘法适合交换律、结合律以及乘法对加法的分配律。
  
  自然数的序数理论,是皮亚诺于1891年发表的。他利用两个不定义的概念 "1"与"后继者"以及四个基本性质(公理)来定义自然数。所谓自然数,是指满足以下性质的集合N中的元素:
  
  ① 1是N的一个元,它不是N中任何元的后继者,若α的后继者用α+表示,则对于N中任何α,α+≠1;
  
  ② 对于N中任意元α,存在而且仅存在一个后继者α+
  
  ③ 对于N中任何α、b,若α+=b)+,则α=b;
  
  ④ N的一个子集合M,若具有以下性质:
  
  1属于M;α属于M,则α+也属于M,则M=N。
  
  用2表示1+,3表示2+,...,如此下去,则可以把N的全部元素如下排列出来:
  
   1,2,3,4,...,n,n+,...。
   (*)
  这就是人们所熟悉的自然数列。所谓"如此下去",实际上就是公理④,通常称为归纳公理,这是证明对于所有自然数都成立的命题非常有效的工具。例如,说数列(*)就是全部自然数,首先(*)的全部元素组成N的子集合M,1在M中,又当n在M中时,有n+在M中,故M=N。利用自然数列(*), 可以回答第几个的问题。1是第一个数,1后面的2是第二个数,等等。因此,这样的自然数称为序数,以区别于前述的可用来回答多少个的基数理论。当然,稍加处理,即可使二者沟通起来。
  
  算术基本定理  在自然数范围内,除法不是永远能施行的,这就是说,任意两个自然数的商未必是自然数,因而出现因数问题。所谓α是b的因数,即指存在自然数с,使αс=b,也称为α除尽b,此时b称为α的倍数。1是任何数的因数。自然数p称之为一个素数,是指p>1,而且p的因数只有1与p本身。不是1也不是素数的自然数称为合数。大于1的任意自然数均可表成素数的乘积,如果不计次序的差别,表法是惟一的。这一结论通常称之为算术基本定理,是德国数学家C.F.高斯首先证明的。
  
  记数法  用十个数码0,1,2,...,9表示任意自然数的位置记数法,是中国古代首先应用的。由于计算工具是算筹,所以数码与算筹的摆法一致,有纵和横两种方式:
  
  纵式 |        
  
  横式 - =       ,
  
  
   1
  2  3  4  5
  6
  7
  8
  9
  例如,329表为=,1042表为| , 约定各位数目从左到右横列,并纵横相间,数码为零的位置则让其空着,以后逐渐改成□,○,0。位置记数法不必限于十进位制,任取大于1的自然数r,可用来表示任意自然数的r进位制,此时αnαn-1...α1α0表示,此处0≤αj<r。例如,二进位制的11011表示1·24+1·23+0·22+1·21+1·20,表成十进位制,即27。竖式运算不必限于十进位制,r进位制的记数法同样可以进行,只要注意到逢r进一即可。
  
  分数  分数的建立有各种方式,以下定义是比较简单的。符号称为(正)分数,此处m,n是自然数,其相等、 相加、 相乘规定如下:两个分数,当时,认为是相等的;的和,是指分数,记为;的积,是指分数,记为;易证,分数的加、乘适合交换律、结合律以及分配律。当时,由定义,于是,或者,在前一情形,认为;在后一情形,认为。这样,任意两个分数α和b,或α=b,或α>b,或b>α,三者有一个且仅有一个成立。从而对分数规定了顺序,分母是1的分数认为与自然数m是同一的,这样,就可写出人们所熟悉的分数的一些性质。
  
  无理数  无理数的概念虽然在古希腊时代即已产生,但是严谨的论证是古代学者不能胜任的。直到17世纪以后,随着数学分析的发展,实数理论才成为主要研究课题。19世纪70年代,由J.W.R.戴德金、G.(F.P.)康托尔、K.(T.W.)外尔斯特拉斯采取不同的途径差不多同时完成。
  
  

参考书目
   钱宝琮主编:《中国数学史》,科学出版社,北京,1964。
   F.Klein,Elementary Mathematics from ɑn Advanced Stand point,Dover, New York, 1939.
  

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