1) Fredholm integral equation of the second kind
第二类弗雷德霍姆积分方程
2) Fredholm integral equation of the third kind
第三类弗雷德霍姆积分方程
3) Fredholm integral equation of the first kind
第一类弗雷德霍姆积分方程
5) Fredholm integral equation
弗雷德霍姆积分方程
1.
The paper uses wavelet compression algorithm to realize the compression and order-reducing solution of large-scale Fredholm integral equation.
本文采用小波压缩算法实现了大型弗雷德霍姆积分方程的压缩与降阶求解。
补充资料：弗雷德霍姆积分方程
形如
(1)和
(2)的积分方程，依次称为第一种弗雷德霍姆积分方程和第二种弗雷德霍姆积分方程，其中λ 是参数，φ(x)是未知函数，核K(x，y)和自由项 ??(x)是预先给定的函数。通常假设 K(x，y)属于平方绝对可积函数类，记,B是非负数。当??(x)恒为零时,称为齐次积分方程，否则称为非齐次积分方程。
逐次逼近法及解核 第二种弗雷德霍姆积分方程的最简便的一种解法是逐次逼近法，即按递推公式给出方程(2)的n+1次近似解
，这里Km(x,y)表示K(x,y)的m次叠核，即 易知，
，这里l可取为小于m的任何自然数。当｜λ｜-1时,近似解序列{φn(x)}在[α,b]上是一致收敛的,其极限φ(x)就是方程(2)的解。
若级数一致收敛，记之为Γ(x,y;λ)，则Γ(x,y；λ)同时满足下面两个方程：
,
(3)
,
(4)对于某值λ，若有平方绝对可积函数Γ(x，y；λ)同时适合方程(3)、(4),则称Γ(x,y；λ)为解核。这时方程(2)对任意的自由项??(x)有惟一解，它可表为
,
(5)反之亦然。
对于解核不存在的值 λ，称为特征值。否则，称为正则值。当且仅当λ是特征值时，对应的齐次方程
(6)才有非零解。非零解φ(x)称为对应于λ的特征函数。
弗雷德霍姆方法 E.I.弗雷德霍姆给出了一般情形的解核构造法。设 K(x,y)是有界核,即│K(x,y)│（M 是实常数），记
,
(7)
,
(8)式中
。应用阿达马引理可估计,从而推知级数(7)、(8)对于一切复值 λ是绝对一致收敛的，因此，D(λ)、D(x，y；λ)都是关于λ的整函数，并分别称为弗雷德霍姆行列式和弗雷德霍姆一阶子式。可以证明，解核可表为Г(x,y；λ)=D(x，y；λ)/D(λ)。这表明解核是λ的半纯函数。同时，解核的极点都是 D(λ)的零点，也都是齐次方程(6)的特征值。反之亦然。
弗雷德霍姆定理 弗雷德霍姆对于第二种积分方程的研究，可归结为如下的四个定理，总称为弗雷德霍姆定理。它是弗雷德霍姆积分方程理论的基础。
第一定理 在λ复平面的任意有限区域内，方程(2)至多只有有限个特征值。
第二定理 每个特征值λ至少对应于一个特征函数，且所对应的线性无关的特征函数的个数是有限的。这个有限数称为λ的秩。
第三定理 设λ是核K(x,y)的特征值，则 憳是共轭核 的特征值。齐次方程 (6)与其共轭齐次方程具有相同的秩。
第四定理 若λ是核K(x，y)的特征值，则非齐次方程(2)可解的充分必要条件为：方程(2)的自由项??(x)与其共轭齐次方程的所有线性无关解ψi(x)正交，即
，式中r是λ的秩。
因此，非齐次方程(2)，或者对任意自由项可解,或者相应的齐次方程有非零解。这一结论通常称为弗雷德霍姆备择定理。
对于第一种弗雷德霍姆积分方程，若φ(x)是它的解，又有非零的任意函数ψ(x)使得，则φ(x)+ψ(x)也是它的解。E.施密特对方程(1)的特征值和特征函数给出了如下的定义：若对于某实数 λ存在非零的函数φ(x)和ψ(x)，满足方程组,,则称λ是方程(1)的特征值，而[φ (x),ψ(x)]称为对应于λ的相伴特征函数对。易知,φ(x)和ψ(x)又分别为下面的第二种弗雷德霍姆积分方程的特征函数：，式中；
，式中。而K壟（x,y）(i=1,2)都是对称正核，故λ是实数，不妨认为λ > 0。方程（1）一定存在一组正特征值{λi}和对应的正交标准的相伴特征函数对{φi(x)，ψi(x)}。有时也称之为奇值和奇值函数序列。应用它可类似地建立展开定理。施密特指出,方程（1）可解的必要条件是级数式中??i=(??，φ)。以后，(C.-)??.皮卡进而证明，在正交标准特征函数系{φi(x)}是完备的情形,这条件也是充分的。此即所谓施密特－皮卡定理。
对于第一种弗雷德霍姆积分方程的研究，近代有了新的进展，并提供了一些有效的解法，但至今还未建立起系统的理论。
(1)和
(2)的积分方程，依次称为第一种弗雷德霍姆积分方程和第二种弗雷德霍姆积分方程，其中λ 是参数，φ(x)是未知函数，核K(x，y)和自由项 ??(x)是预先给定的函数。通常假设 K(x，y)属于平方绝对可积函数类，记,B是非负数。当??(x)恒为零时,称为齐次积分方程，否则称为非齐次积分方程。
逐次逼近法及解核 第二种弗雷德霍姆积分方程的最简便的一种解法是逐次逼近法，即按递推公式给出方程(2)的n+1次近似解
，这里Km(x,y)表示K(x,y)的m次叠核，即 易知，
，这里l可取为小于m的任何自然数。当｜λ｜
若级数一致收敛，记之为Γ(x,y;λ)，则Γ(x,y；λ)同时满足下面两个方程：
,
(3)
,
(4)对于某值λ，若有平方绝对可积函数Γ(x，y；λ)同时适合方程(3)、(4),则称Γ(x,y；λ)为解核。这时方程(2)对任意的自由项??(x)有惟一解，它可表为
,
(5)反之亦然。
对于解核不存在的值 λ，称为特征值。否则，称为正则值。当且仅当λ是特征值时，对应的齐次方程
(6)才有非零解。非零解φ(x)称为对应于λ的特征函数。
弗雷德霍姆方法 E.I.弗雷德霍姆给出了一般情形的解核构造法。设 K(x,y)是有界核,即│K(x,y)│
,
(7)
,
(8)式中
。应用阿达马引理可估计,从而推知级数(7)、(8)对于一切复值 λ是绝对一致收敛的，因此，D(λ)、D(x，y；λ)都是关于λ的整函数，并分别称为弗雷德霍姆行列式和弗雷德霍姆一阶子式。可以证明，解核可表为Г(x,y；λ)=D(x，y；λ)/D(λ)。这表明解核是λ的半纯函数。同时，解核的极点都是 D(λ)的零点，也都是齐次方程(6)的特征值。反之亦然。
弗雷德霍姆定理 弗雷德霍姆对于第二种积分方程的研究，可归结为如下的四个定理，总称为弗雷德霍姆定理。它是弗雷德霍姆积分方程理论的基础。
第一定理 在λ复平面的任意有限区域内，方程(2)至多只有有限个特征值。
第二定理 每个特征值λ至少对应于一个特征函数，且所对应的线性无关的特征函数的个数是有限的。这个有限数称为λ的秩。
第三定理 设λ是核K(x,y)的特征值，则 憳是共轭核 的特征值。齐次方程 (6)与其共轭齐次方程具有相同的秩。
第四定理 若λ是核K(x，y)的特征值，则非齐次方程(2)可解的充分必要条件为：方程(2)的自由项??(x)与其共轭齐次方程的所有线性无关解ψi(x)正交，即
，式中r是λ的秩。
因此，非齐次方程(2)，或者对任意自由项可解,或者相应的齐次方程有非零解。这一结论通常称为弗雷德霍姆备择定理。
对于第一种弗雷德霍姆积分方程，若φ(x)是它的解，又有非零的任意函数ψ(x)使得，则φ(x)+ψ(x)也是它的解。E.施密特对方程(1)的特征值和特征函数给出了如下的定义：若对于某实数 λ存在非零的函数φ(x)和ψ(x)，满足方程组,,则称λ是方程(1)的特征值，而[φ (x),ψ(x)]称为对应于λ的相伴特征函数对。易知,φ(x)和ψ(x)又分别为下面的第二种弗雷德霍姆积分方程的特征函数：，式中；
，式中。而K壟（x,y）(i=1,2)都是对称正核，故λ是实数，不妨认为λ > 0。方程（1）一定存在一组正特征值{λi}和对应的正交标准的相伴特征函数对{φi(x)，ψi(x)}。有时也称之为奇值和奇值函数序列。应用它可类似地建立展开定理。施密特指出,方程（1）可解的必要条件是级数式中??i=(??，φ)。以后，(C.-)??.皮卡进而证明，在正交标准特征函数系{φi(x)}是完备的情形,这条件也是充分的。此即所谓施密特－皮卡定理。
对于第一种弗雷德霍姆积分方程的研究，近代有了新的进展，并提供了一些有效的解法，但至今还未建立起系统的理论。
说明：补充资料仅用于学习参考，请勿用于其它任何用途。
参考词条