补充资料：极值曲线场

极值曲线场
extremal field

极值曲线场【e川欢.目血M;，KeTpoM助e曲no几e] 变量x，另，…，孔的(儿十l)维空间中的一个区域，它被泛函 (B) J一丁F(x，，1，…，、，，‘，…，‘，dx‘，， (A)的一族不相交的n参数极值曲线所覆盖，其中A和B是极值曲线族通过的起点和终点. 正常的(或一般的)和中心的极值曲线场是不同的情形.正常极值曲线场(proper extn泊班1反ld)对应于这样的情形，这族极值曲线横截于某个曲面 毋(x，夕，，…，凡)=0，(2)即在这曲面上满足横截条件 F一2y.’Fv;二 ’二一=···=一.(3) 叭叭.竹.也就是说，对正常极值曲线场，(l)中的点A(或B)属于曲面(2)，且在其上满足条件(3). 中心极值曲线场(戊泊七出以切泊劝1 fid以)对应于这样的情形，这族极值曲线是由场外一点，例如由一公共的起始点A发出的. 极值曲线场的斜率(slope of anex饥滋司6日d)是向量函数u(x，夕)=(价(x，夕)，…，气(x，夕))，它在场的每一点(x，夕)=(x，夕1，…，劝处就是向量夕‘(x)=(y犷(x)，…，丈(x)). 对具有活动端点的问题，当y(x)是一极值曲线时，积分(l)的微分有形式 /一{(一睿夕:。:)d二客一工，‘4，其中微分dx和办沿着活动端点A(xl，夕(x，))和B(x:，y(凡”的位移线计算，而犷是极值曲线y(x)的切线的角系数. (4)中方括号中的表达式可以写成 一万过x+艺且过戈，(5) ‘一l这里H一F‘x，y，“‘x，y))+互从‘x，y，凡;‘x，y，u‘x，y))， 介=凡;(x，y，”(x，，)).在一个极值曲线场中表达式(5)是变量x，y、，…，先的某个函数的全微分，这是因为等式 刁H_刁几日八_a几;，__，___一 一二匕竺-=二兰七.上三二=‘二三巡-，葱.k=1一刀， 奴日x’口儿奴成立.这个函数，准确到一个常数项，是曲线积分 丁一。(x，，，，过，+全。过又，(。 C‘二l它称作Hil伙叭不变积分(访调后切tH妞benin雌同).(6)中C是连接点A和B且落在极值曲线场中的任意曲线y(x).术语“不变的”着重强调这样的事实:积分(6)不依赖于曲线C的选择，而仅由给定的端点所决定. Hilbed积分(6)可写成等价形式: )l尸‘一，，·，一睿、。‘·‘一，，·‘一，，，，“二 +艺r，(x，夕，:)d戈二 了留l 一f「;。x.，.。

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