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1)  arithmetic quadruple
算术运算四元组
2)  arithmetic [英][ə'rɪθmətɪk]  [美][ə'rɪθmə'tɪk]
n.算术,四则运算
3)  arithmetic [英][ə'rɪθmətɪk]  [美][ə'rɪθmə'tɪk]
算术,四则运算
4)  byte manipulation
位元组运算
5)  Computer Arithmatic unit
算术运算单元
6)  Combination of four computing algorithm library
四则运算算式组合库
补充资料:算术
      数学中最古老同时又是最基本的一个分支,它研究数的性质及其运算。arithmatic源于希腊文arithmos,就是"数"(shй)数的意思。"算"字的古义也是"数"的意思,古写为"筭",表示计算用的竹筹,许慎《说文解字》中有"筭,长六寸,所以计历数者",中国古代复杂的数字计算都要用算筹,所以"算术"包含当时的全部数学知识与计算技能,流传下来的最古老的《九章算术》以及失传的许商《算术》与杜忠《算术》,就是讨论各种实际的数学问题的求解方法。
  
  作为现代学校教学科目的"算术"与作为数学分支的"算术"是有差别的。教学科目的算术,除了正整数、分数、小数的性质以及它们的四则运算 (加、减、乘、除)外,还包含量的度量、比、比例等带有实用性质的内容,这是由来已久的传统。而作为数学分支的"算术"则还包含数论的某些初步内容。
  
  数的早期发展  人类在日常生活与生产实践中,由于计数的需要,在文化发展的最初阶段,就产生了自然数的概念。仅有自然数不足以解决生活和生产中常见的分份问题,因之,数的概念的第一次扩张是从自然数扩大到正分数,最初仅认识分子是1的分数,尔后逐渐熟悉了分子是任意自然数的分数及其运算规则。从已有的文献可知,人类认识自然数与分数的历史是很久的,例如,古埃及人很早就有了关于整数和分数的知识,流传下来的莱茵德纸草书(约公元前2000)记载了有关于分数的计算方法。中国殷代遗留下来的甲骨文字中有很多自然数,最大的数字是三万,并且全部是应用十进位制的位置记数法。战国时齐人所写的《考工记》就利用分数的知识,例如,A的长度是B的长度的几分之一,意即"n分其B,以其一为A",而在《九章算术》一书的方程章里,相当完整地介绍了分数的约分、通分以及加、减、乘、除四则运算的规则。中国古代数学主要用来解决实际问题,其中涉及到一些无理数,例如关于正方形的边长与对角线的关系最初表述为"方五斜七"。3世纪时,刘徽提出用继续开方"求其微数"的方法后,可得到十分准确的近似值。引入无理数是古希腊人的贡献,希腊哲学家毕达哥拉斯从直角三角形定理出发,知道边长为1的正方形的对角线的长度r适合关系式r2=2,因此,存在一个"数",其平方为2。但当时仅知道有理数,于是应存在两个自然数α,b,没有真公因数,使得,从而b2=2α2,于是b应是一个偶数,从而α也是偶数,这又与α、b没有真公因数相矛盾。这就是所谓"毕达哥拉斯的两难"。为了摆脱这个困境,只有扩大数的范围,承认存在不能表成分数形式的数,这种新数,就是无理数。后来,欧几里得在《几何原本》中又用几何的方法证明正方形的对角线长与其边长不可通约,进一步说明了无理数的存在。中国古代很早就认识负数及其计算规则,例如,《九章算术》的方程章中就提出用不同颜色的算筹分别表示正、负数(红色算筹表示正数,黑色算筹表示负数),并给出正、负数的加减法规则,即所谓正负术:同名相除,异名相益,正无入负之,负无入正之。这比其他国家的人民利用负数的年代要早得多。至于零的引入,通常认为是大约5世纪以后印度人的贡献。虚数的出现,则是16世纪以后的事。数的知识,经过了漫长的历史发展过程,直到19世纪,才建立严密的理论体系。通常算术里仅讨论自然数、正分数、正无理数,而把其他的数留给代数讨论。
  
  自然数的公理刻画  自然数的概念,在数学上一直把它当作最明显、最基本的概念来应用,多少世纪以来,没有发生用更简单的概念来说明它、定义它的问题;直到19世纪,在数学的公理化方法发展的影响下,才提出"自然数是什么"的问题。按照公理法的要求,数学上每一个概念都希望用更简单的概念来定义,最后归结为几个最基本的不定义的概念;已知概念的每一个性质,也希望由几个不加推导的最基本的性质推导出来。对于自然数,可以用什么样的最基本的概念来定义?哪些是自然数的最基本性质,其余性质均可由它们推导出来?这项工作可以认为发端于G.W.莱布尼茨关于等式2×2=4的证明。由于自然数有两种功用,一种是用来回答"多少个",一种是用来回答"第几个",因此,产生了两种理论:基数理论与序数理论。这个工作是在19世纪末分别由德国数学家G.(F.P.)康托尔和意大利数学家G.皮亚诺完成的。
  
  自然数的基数理论,是以集合间的"一一对应"的概念为基础的。给定两个集合A、B,如果存在一个规则??,对于A中每一元α,在B中惟一确定b(称为α在??下的像),并且,A中不同元确定的像也不同,又B中任一元均为A中某一元的像,那么就说??是A到B的一个一一对应。存在一一对应的两个集合称为等价的。取定一个集合A,把所有与A等价的集合放在一起,作成一个集合的类W,W中所有集合所共有的属性称为A的基数,简而言之,类W本身就称为A的基数。于是,每一个集合均有一个惟一确定的基数,等价的两个集合的基数相同,不等价的集合的基数不同。例如,取A为单独一支粉笔所成的集合,与A等价的所有集合所具有的共同属性,显然就是这个集合所具有的元素个数1。基数概念也就是这样通过比较(一一对应)与分类得出来的。单独一个元素的集合A={α}的基数记为1,将A本身作为元素添加到集合A中,得出集合B={α,A}={α,{α}}的基数记为2,再将B视为元素添加到集合B中,得出的集合C={α,A,B}={α,{α},{α,{α}}}的基数记为3,如此下去,依次得出 1,2,3,...,称为自然数。由单独一个元的集合出发,逐次添加一个元素所得的集合,通常称为有限集,因此,自然数可以定义为有限集的基数。此时集合的基数实际上就是人们通常所熟悉的集合中元素个数。例如,含有三本书的集合E,易知它与上述基数为3的集合C等价,故E的基数为3,也就是E中元素个数为3。为了计数,先要有计数的标准集合(自然数),通过一一对应就可确定所要计数的集合中元素个数,考查一下儿童数数的过程,就可发现确是如此。这样,自然数可以用来回答有多少个的问题。
  
  取定两个自然数α、b。设A、B分别表示以α、b为基数的集合。若A与B等价,由定义知,α=b。若A等价于B的一个真子集合(即由B的部分元素组成的集合),则说α。若B等价于A的一个真子集合,则说b<α。由于A、B是有限集,可以证明,二者不能同时成立(当A、B是无限集时,二者可以同时成立,此时,由伯恩斯坦定理知,A与B等价),因此,这就建立了自然数的顺序关系:对于任意自然数α、b,或α=b,或α),或b<α,三者有且仅有一种情形成立。
  
  取定自然数α、b,设A、B分别表示以α、b为基数且无公共元素的集合(由于A、B可在等价类中任意选取,无公共元素的集合总是存在的),命C表示A、B的并集(即以A、B的所有元素组成的集合),C的基数с称为α、b的和,记为с=α+b,形成和的运算称为自然数的加法。可以证明,自然数的加法适合交换律与结合律。由加法结合律,可知任意b个α相加的结果,与添加括号的方式无关,其惟一结果记为d=α+α+...+α=bα,称为b、α的积,形成积的运算称为自然数的乘法。于是,可以证明,自然数的乘法适合交换律、结合律以及乘法对加法的分配律。
  
  自然数的序数理论,是皮亚诺于1891年发表的。他利用两个不定义的概念 "1"与"后继者"以及四个基本性质(公理)来定义自然数。所谓自然数,是指满足以下性质的集合N中的元素:
  
  ① 1是N的一个元,它不是N中任何元的后继者,若α的后继者用α+表示,则对于N中任何α,α+≠1;
  
  ② 对于N中任意元α,存在而且仅存在一个后继者α+
  
  ③ 对于N中任何α、b,若α+=b)+,则α=b;
  
  ④ N的一个子集合M,若具有以下性质:
  
  1属于M;α属于M,则α+也属于M,则M=N。
  
  用2表示1+,3表示2+,...,如此下去,则可以把N的全部元素如下排列出来:
  
   1,2,3,4,...,n,n+,...。
   (*)
  这就是人们所熟悉的自然数列。所谓"如此下去",实际上就是公理④,通常称为归纳公理,这是证明对于所有自然数都成立的命题非常有效的工具。例如,说数列(*)就是全部自然数,首先(*)的全部元素组成N的子集合M,1在M中,又当n在M中时,有n+在M中,故M=N。利用自然数列(*), 可以回答第几个的问题。1是第一个数,1后面的2是第二个数,等等。因此,这样的自然数称为序数,以区别于前述的可用来回答多少个的基数理论。当然,稍加处理,即可使二者沟通起来。
  
  算术基本定理  在自然数范围内,除法不是永远能施行的,这就是说,任意两个自然数的商未必是自然数,因而出现因数问题。所谓α是b的因数,即指存在自然数с,使αс=b,也称为α除尽b,此时b称为α的倍数。1是任何数的因数。自然数p称之为一个素数,是指p>1,而且p的因数只有1与p本身。不是1也不是素数的自然数称为合数。大于1的任意自然数均可表成素数的乘积,如果不计次序的差别,表法是惟一的。这一结论通常称之为算术基本定理,是德国数学家C.F.高斯首先证明的。
  
  记数法  用十个数码0,1,2,...,9表示任意自然数的位置记数法,是中国古代首先应用的。由于计算工具是算筹,所以数码与算筹的摆法一致,有纵和横两种方式:
  
  纵式 |        
  
  横式 - =       ,
  
  
   1
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  例如,329表为=,1042表为| , 约定各位数目从左到右横列,并纵横相间,数码为零的位置则让其空着,以后逐渐改成□,○,0。位置记数法不必限于十进位制,任取大于1的自然数r,可用来表示任意自然数的r进位制,此时αnαn-1...α1α0表示,此处0≤αj<r。例如,二进位制的11011表示1·24+1·23+0·22+1·21+1·20,表成十进位制,即27。竖式运算不必限于十进位制,r进位制的记数法同样可以进行,只要注意到逢r进一即可。
  
  分数  分数的建立有各种方式,以下定义是比较简单的。符号称为(正)分数,此处m,n是自然数,其相等、 相加、 相乘规定如下:两个分数,当时,认为是相等的;的和,是指分数,记为;的积,是指分数,记为;易证,分数的加、乘适合交换律、结合律以及分配律。当时,由定义,于是,或者,在前一情形,认为;在后一情形,认为。这样,任意两个分数α和b,或α=b,或α>b,或b>α,三者有一个且仅有一个成立。从而对分数规定了顺序,分母是1的分数认为与自然数m是同一的,这样,就可写出人们所熟悉的分数的一些性质。
  
  无理数  无理数的概念虽然在古希腊时代即已产生,但是严谨的论证是古代学者不能胜任的。直到17世纪以后,随着数学分析的发展,实数理论才成为主要研究课题。19世纪70年代,由J.W.R.戴德金、G.(F.P.)康托尔、K.(T.W.)外尔斯特拉斯采取不同的途径差不多同时完成。
  
  

参考书目
   钱宝琮主编:《中国数学史》,科学出版社,北京,1964。
   F.Klein,Elementary Mathematics from ɑn Advanced Stand point,Dover, New York, 1939.
  

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