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1)  X is a function of Y.X
是Y 的函数.
2)  y-v function
y-v函数
3)  kernel k(x,y)
核函数k(x,y)
4)  generalized yconvexity
广义y-凸函数
5)  X-Y recorder
X-Y函数记录仪
6)  Place y equal to the function.
使y等于此函数。
补充资料:Abel函数


Abel函数
I

A加班函教tA娜叨竺了)爪.、。fllnction)概念在弟复变量情形的一种推广.在复空间C刃(P)l)中变量为“、,一,:;、:二〔:l二,:。)的亚纯函数以幼称为Abel函数,如果在f尸中有一ZP个行向量 、,=(、卜,一,吟力,“二l,一,饥它们在实数域上是线性无关的并且使得对所有的:任〔’”、有厂(:十、v)=f仓),v“1,二,Zp.向量*、称为Abel函数f(“)的周期(peri础)或周期季(s ysten‘(’f perl-eds) Abel函数力二)的所有周期在加法下成为Abel群r,称为周期攀《period group)(或周期撑(perl叱modu兄)).这个群的基称为Abel函数的周期基系 (basls system of periods),或称为基本周期系(systemof basle(或prlmltive)详riods),Abel函数了(:)称为退侈的(de罗nerate),如果存在变量“】厂,一刃,的一个线性变换,它将f仕)变为一个较少变量的函数;否则f(z)称为非退化Abel函数( non一de罗nerate/由elianfunCtion).退化Abel函数是由具有无穷小周期来识别的,即对任何。>0都可找到一个周期w,使得 {}、、。一斌不不<“如果P二l则非退化Abel函数是单复变量的椭圆函数.每个带周期群r的Abd函数自然地等同于复环面拟)mPlex torus)(‘护/r(即商空间Cp厂r)_t几的‘个亚纯函数(见拟^加l函数(quasi一八t,clian functlon)). Abel函数的研究开始十19世纪,当时它与第一类A阅积分(Abeljan,ntc『aZ)的反演(见J即曲i反演问题(Jacob,inversion problem),〔l〕,【2」)有联系.r月解这个问题得到的Abel函数称为特殊Abe]函数(spedal Abelian functions少;在早期的上作中,只有这样的函数有时才被认为是Abel函数.命。、一u,为在Riemann曲面F上构造的第一类线性无关的正规Abel积分: “,三了、卜一价兰了啊· 自气并命 “二了du尸-一一,厂du,,一户‘·一: 。户为一个给定的和系,其中积分下限c.二。,固定在曲面F上一于是可定义特殊Abel函数为上限、。,二,林的具有p个坐标的所有有理函数,后者也可看作F上p个点:、,二、::的函数.用K,weie玲trass引进的记号,任何特殊Abe]函数AI仁)都可表为 川(z)二Al(:!1.,.,动 二川X;(:〕、..钊.今伍..几球相应于特殊Abel函数的复环面C夕z「是代数曲线的Jacobi簇(Jacobi varieties). 矩阵W称为Abel函数f(z)的周期矩阵(periodmatrix),指它的列向量是Abel函数f(z)的周期基,具有维数px Zp一个给定的pxZp维矩阵w为某一非退化Abel函数的周期矩阵的充分必要条件是它满足下列条件(Riemann一Frobenius条件(Riemann一Fro-benius conditions)):它必须是一个Riemann矩阵恨iemann matrix),即必须存在一个元素是整数而阶数是ZP的反对称非退化方阵M,使得1) wMW丁二0,其中wT是w的转置矩阵;2)矩阵1 wM评T确定一个正定He皿ite型([3」).如果条件l)和2)分别表为方程和不等式,就得到一个由P印一l)/2个Riemann方程(Riemann equations)所成的方程组和p(P一l)/2个Riemann不等式(Riemann inequali-ties).数p称为矩阵万和相应的Abel函数f(习的亏挣(罗nus)·W的列向量w、一Rew,+ilmw,,看作是实Eudid空间RZ,中的向量,它定义了f(z)的周期超平行体(period Parallelotope). 对应于相同周期矩阵W的所有Abel函数构成一个Abel函攀举(Abelian function field)K,·如果域K二包含一个非退化Abel函数,那么它在域C上的超越次数是P;于是环面Cp/r是一个Abel簇(Abelian variety),而K二变为它的有理函数域.另一方面,如果K二的所有户七el函数都是退化的,那么K二同构于一个维数低于P的Abel簇上的有理函数域.亦见拟Abel函数(quasi一Abelian function). 与椭圆函数的情形一样,任何Abel函数都可表为两个整超越0函数的商(见0函数(t heta一几nction》,它也可表为e级数(t heta一series)一个给定的Riemann矩阵W可决定一类0级数,由它可以构造域Kw的所有Abel函数. 对特殊的Abel函数,利用独立变量z:,…,z,的线性变换常可以将矩阵W变为如下形式: }},i…o。..…。:川 】l’---一曰一IPll W二11···..……,二,…l! 11”“’盯‘arl‘.肠} 这时矩阵}}隽*”(j,k=1,…,p)的元素之间的Rie-mann关系,保证了矩阵的对称性aj、二a*,和实部矩阵 IIRe马*11(j,k=l,…,川的正定性.然而,当p>3时, 11 aj*l}的元素码*中仅有3(p一l)个独立元素,即 和在其上反演问题可解的Riemann曲面F的保形参 模的个数一样多(见形恤ann曲面的模(moduli ofa R记mann su血。)).除Riemann关系以外,在此情形 马*之间有印一2)印一3)/2个超越关系,在p=4的情 形,这些关系的明显形式是F.S由ott幼在1886年 首先发现的;关于这个领域的以后发展的回顾见[5 1.特殊的Abel函数可以表为属于一个特殊类型的两个具有半整数特征数的整0函数的商.这些表示给出特殊Abel函数的许多性质,它是椭圆函数的许多性质的拓广.因此,Abel函数f(z)关于任意变元zj的导数是Abel函数;任意p十l个Abel函数满足一个代数方程;任何Abel函数都可用某P十l个Abel函数有理地表示,例如可以用任意Abel函数和它的P个一阶偏导数表示;Abel函数满足加法定理(a ddition theo-rern),即Abel函数在点a+b〔Cp上的值可以用某p+1个Abel函数在点a,b‘C夕上的值有理地表示. Abel函数在代数几何学中具有重要的意义,它可作为某一类代数簇的单值化(u nifonnization)手段.【补注】周期基系也称为周期基(period basis).除了[5]以外还可参考更新的[AI].Riemann一Frobinius条件也称为Riemann双线性关系(Riemann bilinear rela-tions)或简称为Rleroann关系(Riemann relations).schottkyl’gl琴(s chottky Problem)关系到满足Rie-mann条件的矩阵空间中所有Jaco饭行列式空间的描述.它最近已被解决,见J即曲i簇(Jacobi variety).
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参考词条