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1)  generator of Abelian group
交换群的生成元
2)  generator of an Abelian group
阿贝耳群的生成元;交换群的生成元
3)  generator of semigroup
半群的生成元
4)  group generator
群生成元
5)  infinitesimal generator of a C_0 semigroup
半群生成元
6)  idempotent-generated semigroup
幂等元生成半群
补充资料:交换群
      其运算适合交换律的群,或称阿贝尔群。挪威数学家N.H.阿贝尔在讨论高次方程时曾用到过有限交换群,为了纪念这位著名数学家,而常把交换群称作阿贝尔群。交换群是一般群论中的一个独特分支。在拓扑学和代数学中常常构造一些交换群,作为讨论问题的工具,例如,拓扑学中的基本群、同调群、代数学中的布饶尔群等等。交换群论与代数拓扑、模论、同调代数、环论等有密切的联系。
  
  交换群作为特殊类型的群,也有诸如元素的阶、群的阶、子群、商群等概念以及相应的结果(见群)。在交换群中,子群和正规子群是相同的概念,习惯上把交换群的运算记作加法,用0表示群的单位元素,用-α表示元素α的逆元素,用nα表示α的n次幂,交换群的直积改称为直和。
  
  有限非交换群有复杂的结构,至今还不完全清楚。然而有限交换群却有着非常简单的结构。1878年,F.G.弗罗贝尼乌斯等证明了下面的基本定理:任一有限交换群G可表成有限个且阶为素数幂的循环群的直和,即,其中k是自然数,Gi 是循环群且,pi是素数,ni是自然数,并且数k和是由群G完全确定的。这个定理是一个具有典型意义的结构定理。关于有限交换群的子群、商群、自同态等问题,都可以利用这个定理去解决。因而,交换群理论的主体是研究无限群。
  
  对于具有有限个生成元的无限交换群G都可表成有限个循环群的直和:其中Gi是循环群且,pi是素数,ni是自然数。而Fj都是无限循环群;且非负数k,s以及由群G惟一确定。这是对于有限交换群基本定理的一个完满的推广。
  
  以上两个定理是一系列研究的起点,启示人们考虑还有哪些群类(更一般地,模类)可表为循环群(循环模)的直和,这样的群类具有什么性质,等等。
  
  n个(有限个或无限个)无限循环群的直和G,称为自由交换群或自由群,其个数(基数)n是群的不变量,称为自由群G的秩。自由群在交换群理论中所占的地位,与非交换自由群在一般群理论中的地位相当,即任意一个群A总可看成自由群的同态像。为此,只要取定群A的一个生成元集,并相应地取符号集{xα,α ∈I},以xα为生成元可作无限循环群α>,再作它们的直和即得自由群G=嘰α>。G中元素都可惟一写成有限和形式是整数。因此,可作映射
  易知,φ是自由群G到群A上的同态映射。还可以证明,自由群的非零子群仍是自由群。
  
  若干个循环群的直和G具有与自由群类似的一些性质。例如,这样的直和G的子群,也是一些循环群的直和;当把G表成无限循环群与阶为素数幂的循环群的直和时,这种表法在同构意义下是惟一的,即其中无限循环群的个数与阶为素数幂的循环群个数都由G本身惟一确定。
  
  每一元都是有限阶(无限阶)的交换群,称为周期群(无扭群)。既含有有限阶元又含有无限阶元的群,称为混合群。每一元的阶都是素数p的幂的群,称为准素群或p准素群。
  
  除群是个重要的而且已被完全刻画了的群类。所谓除群G,是指对于任意自然数n和任意元素α,方程nx=α都有解的群G。不难验证,全体有理数关于数的加法作成一个无扭除群;而对于固定的素数p及所有自然数n,一切pn次单位根的全体关于复数的乘法作成p准素群P,它也是除群,并记作p型群。任意除群都是若干个有理数加群和若干个p型群(对某些素数p)的直和。R.贝尔指出除群具有如下特性:若群G含有一个除子群h(即h本身是除群),则h必是G的直和项,即有子群K使G=h嘰K。反之,具有如下性质的群h必是除群:若h是群G的子群,则h必是G的直和项。除群是模论中重要的入射模概念的一个原型。不含除子群的群,称为简约群。对任意交换群的研究可归结为对简约群的研究。
  
  交换群G中有限阶元素的全体可作成一子群h,称为G的周期子群,而商群G/h是无扭群。周期群G中阶为素数p之幂的元素的全体G(p)是G的子群,且有(p取遍所有素数)。因此,周期群的研究可归结为准素群的研究。设G是p准素群,对自然数n规定。易知,pnG是子群,且有。设非零元素α∈G,若有n使得α∈pnG,而G,就把n称为α的高。否则,就说α的高是∞。因此,α的高就是使方程pmx=α在G中有解的最大自然数m(或∞)。高是交换群论中最重要的概念之一。除群中每一元素的高都是∞,而循环群的直和中则没有高为∞的元素。
  
  重要的普吕菲尔定理给出一些可表为循环群的直和的某些群类:①若G是p准素群且有n使pnG={0},则G是循环群的直和。②若G是可数(即|G|是可数基数)p准素群,但是它不含高为∞的元素,则G是循环群的直和。
  
  含有高为∞的元素的群不可能表成循环群的直和,对此需另寻刻画方法。H.厄尔姆在20世纪30年代作出了影响深远的贡献。他对p准素群G引入了定义在序数集上取值基数的一个函数??G(α) (后来称之为厄尔姆不变量),给出了重要的厄尔姆定理:两个可数p准素群G和h是同构的,当且仅当它们有相同的厄尔姆不变量,即对所有的序数α,有??G(α)=??H(α)。近年来,这个定理在I.卡普兰斯基和E.沃克等人手中得到进一步的推广。例如,对于一类所谓完全投射群,相应的结论也成立。
  
  对于无扭群,秩是一个最基本的概念,它类似于向量空间的维数。如果对于群G的有限个元素α12,...,αn有不全是零的整数k1,k2,...,kn,使得,就说α12,...,αn是相关的,否则就说是无关的。如果G的一个子集S的任意有限子集都是无关的,就说S是无关的。群G的所有极大无关子集具有相同的基数,称为G的秩。秩为1、2的无扭群的结构基本上已清楚,例如,秩为1的无扭群恰为有理数加群的一切子群。其他一些无扭群也作过研究,例如完全分解无扭群以及它们的纯子群。总之,对无扭群的研究远不如对周期群的研究深入。
  
  混合群G总可以看成周期群A借助无扭群B的扩张。最初的一些研究,常集中于如下的问题:在什么条件下这个扩张G是可裂的,即有G=A嘰B成立。R.贝尔给出一个结果:若混合群G的周期子群A是一些除群和一些阶小于某固定n的循环群的直和,则G是可裂的。近年来,I.卡普兰斯基、R.B.沃菲尔德等找到了一些方法,能从整体上讨论混合群,从而开创了一个新局面。
  
  任一交换群都可看成整数环上的模,为此只需引入模运算n·g=g+...+g(n个)即可。交换群作为特殊的模,为一般模论提供了大量的概念和定理的原型,例如张量积就是其中之一。交换群G的自同态对应全体End(G)关于自同态的乘法和加法作成一个环,而交换群G可以自然地看成End(G)的任意子环上的模。交换群、模论、环论是互相密切联系的。
  
  

参考书目
   I.Kaplansky,Infinite Abelian Groups,Revised ed.,Univ.of Michigan Press, Ann Arbor, 1969.
   L.Fuchs,Infinite Abelian Groups,Vol.1~2,Academic Press,New York,1970,1973.
  

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