补充资料：广义导数

广义导数
generalized derivative

广义导数叮/axj=甲的第二个等价定义如下:如果可在一个n维零测集上修改f使得修改后的函数(仍记为f)对几乎所有(在n一1维玫h治gue测度意义下)如下的x，=(x、，…，xj一、，x，+、，…，x。)关于X，局部绝对连续，这些丫属于。到平面戈=0的投射汀，那么f在0上几乎处处(a」In姚t一e记甲vbere)有偏导数(在这个词的通常意义下)万/刁毛.如果函数价=汀/口xj在Q上几乎处处成立，那么价是f对xj在Q上的广义导数.于是，广义导数是在O上几乎处处定义的.如果f以及它通常意义下的导数盯/日xj在。上连续，那么后者也是f对xj在。上的广义导数. 高阶广义导数日’f/刁x，日xj，护f/口x泪对，…可归纳地定义.它们与微分的次序无关(在几乎处处意义下). 广义导数还有第三个等价定义，假定对每个有界闭集FCO，定义在O上的函数f和毋有性质 ，叭丁、，一f.己二一。， F ，f}己f、__}」___。 l而!}任已一职}dx=0， 卜面梦}0x)‘}且假定函数f，，?=1，2，…，以及它们的偏导数鱿/叙j在。上连续，那么中是f在。上对xj的广义偏导数(毋=刁f/刁毛)(亦见C。血月eB空间(SobolevsPaCe)). 从广义函数论的观点，广义导数可以定义如下:设给出一个在。上局部可和函数f，把f视为广义函数并令万/axj=中是广义函数论意义下的偏导数，如果切表示Q上局部可和函数，那么毋是(在第一个(原始)意义下的)广义导数. 广义导数的概念甚至更早就被考虑了(例如可见〔31，其中考虑了在O上平方可积的广义导数).于是很多研究者独立于他们的先行者得到了这个概念(关于这个问题可见【41).广义导数[笋田浦妇山对.盼陀;06浦城e二a.n卯.，-。o口，a:】，函数型的 导数概念对某些不可微函数类的推广.第一个定义属于C.Jl.Co6~(见【l]，〔2])，他从他的广义函数(罗m饭血时加戊石印)概念的观点得出广义导数的定义. 设f和甲是。维空间R”中开集O上的局部可积函数，即在任何有界闭集FC=O上Ub留g迸可积.如果对任何在O中具有紧支集的无限次可微函数价(见紧支集函数(丘m侧on ofcolrlPactsuPport))有 f、。、卜夕生。二、‘x一f。。:、*。二、过:.‘;、 泛刁X叉 QU八jo则称沪是f对xj(在。上)的广冬导熬，并记作中=刁f/口xj·

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