1) SU(2) nonautonomous quantum system
SU(2)非自治系统
2) the linear SU(2) nonautonomous quantum system
SU(2)线性非自治量子系统
3) The linear nonautonomous system with the SU(2) dynamical groupl
SU(2)线性自治量子系统
4) SU(1,1) nonautonomous classical harmonic oscillator
SU(1,1)非自治经典谐振子系统
5) nonautonomous system
非自治系统
1.
In this paper,we have studied the existence of periodic solution for a class of nonautonomous system=φ(y)-F(x)+P(t) =-g(x)Sufficient condition to exist periodic solution for the system is obtained,and the results in are extended.
本文研究一类非自治系统ｘ＝φ（ｙ）－Ｆ（ｘ）＋Ｐ（ｔ）ｙ＝－ｇ（ｘ）｛的周期解的存在性，得出此系统存在周期解的充分条件，推广了文［４，５］的结论。
2.
This nonautonomous system has a quadratic fluid damping andparametric excitation, and the vortex excitation force is of very small amplitude.
该非自治系统具有流体平方阻尼力和中心激振。
6) Non autonomous system
非自治系统
1.
The non autonomous system =f(t,x)+g(t,x)+H(t),x∈R n is discussed by the theory of matrix measure, and by mesns of the estimating of the solution of a linear system.
对ｎ 维非自治系统 ｘ＝ ｆ（ｔ，ｘ） ＋ ｇ（ｔ，ｘ） ＋ Ｈ（ｔ）其中ｘ ∈ Ｒｎ，ｆ（ｔ，ｘ），ｇ（ｔ，ｘ ） 是定义在 Ｉ（０ ≤ ｔ＜ ＋ ∞） × Ｒｎ 上的ｎ 维连续向量函数，且ｆ（ｔ ＋ ω，ｘ） ＝ｆ（ｔ，ｘ），ｇ（ｔ ＋ ω，ｘ） ＝ ｇ（ｔ，ｘ）， Ｈ（ｔ） 是 ｎ × １ 矩阵且 Ｈ（ｔ ＋ ω） ＝ Ｈ（ｔ），常数 ω＞ ０，ｆ（ｔ，ｘ） 对ｘ 具有一阶连续的偏导数，ｇ（ｔ，ｘ） 关于 ｘ 满足 Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ 条件。
补充资料：SU(3)对称性(SU
强子之间存在的一种包括同位旋对称性和超荷对称性在内的更高的内部对称性。这个对称性表明，所有的强子可以分成若干组，组内的粒子有相同的时空对称性质（例如自旋、宇称）和重子数，有?冉辖咏木仓柿浚懈鞑幌嗤匆欢ü媛煞植嫉耐恍? (I)、同位旋投影(I3)量子数和超荷值(Y),它们在相互作用过程中表现出大体上一致、彼此密切相关的性质。利用SU(3)群这一数学工具来描述强子之间的这种对称性质，研究粒子的分类、基本属性以及它们在各种相互作用过程中的互相关联的理论称为SU(3)对称性理论。
历史 随着科学技术的进步，人们制造和探测高能粒子的手段不断更新，发现的新粒子、新现象越来越丰富。20世纪50年代确立了一系列奇异粒子，60年代又陆续发现了为数众多的共振态粒子，使得当时已发现的粒子（主要是强子）的数目猛增至一二百个之多，大大超出了发现元素周期律时已发现的化学元素的数目。在这种情况下，把这么许多粒子进行科学的分类，找出它们性质之间的内在联系，并进而追溯这些联系的根源，就成了当时十分迫切的课题。
在这样的基础上，60年代前期，经过许多科学工作者的共同努力，包括大量深入的理论探索和细致周密的实验分析，揭示了强子的SU(3)对称性，利用SU(3)群把同位旋对称性和超荷对称性结合起来，统一到一个更大更高的内部对称群中去，发展并最后确立了关于强相互作用粒子的SU(3)对称性理论。
强子SU(3)对称性的建立 利用SU(3)群来研究强子对称性的早期尝试,与强子结构的坂田模型密切相关。50年代初，高能物理中发现了一系列奇异粒子，引入了奇异数，并总结出了著名的盖耳－曼－西岛法则。在此基础上日本物理学家坂田昌一在1955年提出了坂田模型，假定所有的强子都是由质子(p)、中子(n)和Λ 超子以及它们的反粒子组成的。正像忽略去质子和中子的差别以后核力和核子体系具有同位旋对称性[即 SU(2)对称性]一样，如果人们忽略Λ 粒子与核子之间的差异，而把它们看作同一粒子所处的三种不同状态，它们之间应具有SU(3)对称性，由它们所构成的强子体系也应具有SU(3)对称性。
按照李群的基本理论,SU(3)群的不可约表示可以用一对非负整数(λ，μ)来标志，记作D(λ，μ),通常用黑体的维数数字来代表，例如：
D(0,0)＝1，D(1,0)＝3，D(0,1)＝3*，D(1,1)＝8，
其中3*是3的共轭表示。
在SU(3)变换下,基本的(p，n，Λ)具有重子数N＝1，按基础表示3变换,相应的反粒子(圴，嬞，揈)具有重子数N＝-1，按共轭表示3*变换。按坂田模型,N＝0的介子由一对正反(p，n，Λ)组成，它们应按表示8和1变换。当时实验上已确认的赝标介子只有同位旋三重态的普通介子(π-,π0,π+)和两个同位旋双重态的奇异介子(K0，K+和K-,噖0),它们一共有七个。根据SU(3)对称性预言至少应当存在一个同位旋单态的普通介子，与上述七个粒子组成SU(3)八重态。不久果然在实验上发现了单态非奇异介子η(548)。与赝标介子的情形相似，先后在实验上发现的矢量介子ρ(ρ-，ρ0，ρ+)、K*(K*0, K*+；K*-,噖*0)、ω和嗞一共九个,适合于填充可约表示8)+1。可见,以坂田模型为基础的SU(3)对称方案很好地解释了介子的性质。
但是，坂田模型关于重子的分类方案却遇到了原则性的困难。例如，重子数N＝1超荷Y＝0的Σ超子三重态可能填充的不可约表示是6*或15。但6*中根本没有另一个超子(Y=-1的双重态)Ξ的位置；而15中虽然可以容纳Ξ超子，却还预言许多至今都没有任何迹象的空额粒子。
1961年在重新仔细分析实验资料的基础上,M.盖耳－曼和Y.奈曼提出了新的八重态分类方案（称为八重法），假定八个重子（N,Ξ,Σ和Λ）和八个赝标介子(K,噖,π和η)一样,属于不可约表示8。按照SU(3)群表示的乘法规则，主要衰变为一对赝标介子的矢量介子共振态和主要衰变为一个赝标介子和一个 重子的重子共振态都应当属于不可约表示27,10,10*,8或1。
根据实验分析,同坂田模型中一样,九个矢量介子填充可约表示8+1。自旋宇称为 的重子起初共发现九个，这就是非奇异的四重态Δ(1232)(Δ-，Δ0，Δ+,Δ++ )，超荷Y=0的三重态和Y＝-1的双重态Ξ*(1530)。在SU(3)群八重法分类方案中自然地把它们归入不可约表示10，但其中还要求存在一个新的Y=-2的同位旋单态稳定重子Ω-。根据表示中其他粒子的质量，理论预言Ω-的质量约为1675MeV。1964年，N.P.萨穆斯在实验上果然发现了这个粒子。以后,实验还测定了它的质量为1672.45±0.32MeV,自旋宇称为3+/2，它的主要弱衰变方式和寿命 (0.819±0.027)×10-10s，这些都与理论预言相符合。这是对SU(3)对称性八重态分类方案的强有力支持。
SU(3)对称性的主要结果 有以下几点。
①粒子填充和分类。现已确认的常见介子和重子在SU(3)对称性中按下述方式分类。
粒子符号后括弧中的数字是指该同位旋多重态质量平均值,以MeV为单位。每一组称为一个 SU(3)多重态。非单态粒子的填充情况可以用下图表示。
②质量关系。八重态对称性只是强相互作用的近似对称性,其表现之一是一个SU(3)多重态内各粒子的质量并不相等。分析表明，除了强相互作用的主要部分是在SU(3)不变的以外，还存在着较弱的中强相互作用,它在SU(3) 变换下的性质同八维正规表示中的超荷算符一样，由此可以得到一级近似下的质量公式，通常称为盖耳－曼－大久保公式。对于八维表示，此公式给出下述求和关系： （1a）
而对于十维表示，则给出等距规则： （1b）
式中 m是同位旋-超荷量子数为(I，Y)的状态的质量。实验上,对重子，式(la)两边的观察值的四分之一分别为1135MeV和1128MeV,故此式在0.6％的精度范围内成立。对重子,式(lb)中三个质量差分别是152、149和139MeV。
对于介子八重态，通常认为应用质量二次方代替式(la)中的质量，加上电荷共轭性质的考虑，可得
(1c)
对于赝标介子，用 K和 π的质量代入，推得，而mn=0.301GeV2，相差约6％，说明η介子与后来发现的第九个赝标介子 η′(958)有某些混合。对于矢量介子九重态,相应的两个(I，Y)=(0，0)的状态有较大的混合，有很多专门的讨论。
③磁矩关系。电荷算符在 SU(3)变换下的性质由盖耳－曼－西岛法则确定，由此可导得一个多重态内诸粒子磁矩的相互关系。例如： (2)
等等。用观察值代入，上三式分别是
2.793=2.379±0.020，
-1.1±0.05=-1.85±0.75，
-1.250±0.014=-1.913，
量级上是符合的。
④电磁质量差。由电荷算符的性质还可以导出一个同位旋多重态内不同电荷粒子质量的"超精细"分裂。对重子，可得到关系式： (3)
用观察质量代入,两边分别是6.65±0.09MeV和6.4±0.6MeV，符合得很好。
⑤强衰变宽度。按照SU(3)对称性，同一个SU(3)多重态内各个粒子看成同一粒子的不同内部态，因此各个粒子的相应衰变方式的几率之间就存在着一定的关系。
60年代前期,围绕着SU(3)对称性的理论预言和实验检验做了大量的工作。讨论了其他各种粒子的分类填充方案和质量关系，分析了强子的各种（包括强的和电磁的）衰变方式和衰变宽度，以及各种散射截面之间的关系，研究了强子的弱相互作用性质和选择规则等等。SU(3) 对称性理论的一系列推断和预言都同实验有较好的符合。大体说来，和粒子的静止性质（内部性质）相联系的那些理论预言同实验结果符合得较好一些，而对于那些同粒子的运动性质（外部性质）关系较密切的过程，情况要复杂一些，理论与实验的符合程度要差一些。
SU(3)对称性理论提供了一个可靠而有力的工具,对长期积累起来的丰富的实验资料作出了系统的分析，对数以百计的强子进行了贴切的分类，较成功地对这些粒子的基本属性（包括质量谱的规律性）作出了解释。从这个意义上说,强相互作用粒子的SU(3)对称性同化学元素的周期律十分相似。
SU(3)对称性和强子结构 关于强相互作用粒子,从一开始 SU(3)对称性的研究就是同强子结构的坂田模型紧密相关的。受到实验广泛支持的八重法正是从坂田模型中脱胎出来而又经过原则性的改造而得到的。另一方面，八重态有一个十分显著的特点：所有介子都仅仅填充1、8表示，这两个表示可以由基础表示3和3*的乘积组成，所有重子都仅仅填充8、10表示，它们可以由三个3表示的乘积组成,这一点启发盖耳-曼和G.兹韦克提出如下的假定：存在着具有分数重子数、分数电荷和分数超荷量子数的三种基础粒子(u，d,s)，称为夸克，它们按SU(3)群的基础表示3变换；一切强子都是由夸克及其反粒子组成的。介子由一对正反夸克组成，应属于表示8和1,重子由三个夸克组成,应属于表示10、8和1。强子之间的SU(3)对称性正是由夸克的基本SU(3)属性所决定的。这就是夸克模型。夸克模型成功地解释了强子的SU(3)对称性，并且导出了一系列新的结果,得到了实验的广泛支持。
由此可见，正像化学元素周期律反映了各种元素原子中电子排布的规律性,揭示了原子的内部结构一样,强相互作用的 SU(3)对称性深刻地反映了强子的内部结构特征。
历史 随着科学技术的进步，人们制造和探测高能粒子的手段不断更新，发现的新粒子、新现象越来越丰富。20世纪50年代确立了一系列奇异粒子，60年代又陆续发现了为数众多的共振态粒子，使得当时已发现的粒子（主要是强子）的数目猛增至一二百个之多，大大超出了发现元素周期律时已发现的化学元素的数目。在这种情况下，把这么许多粒子进行科学的分类，找出它们性质之间的内在联系，并进而追溯这些联系的根源，就成了当时十分迫切的课题。
在这样的基础上，60年代前期，经过许多科学工作者的共同努力，包括大量深入的理论探索和细致周密的实验分析，揭示了强子的SU(3)对称性，利用SU(3)群把同位旋对称性和超荷对称性结合起来，统一到一个更大更高的内部对称群中去，发展并最后确立了关于强相互作用粒子的SU(3)对称性理论。
强子SU(3)对称性的建立 利用SU(3)群来研究强子对称性的早期尝试,与强子结构的坂田模型密切相关。50年代初，高能物理中发现了一系列奇异粒子，引入了奇异数，并总结出了著名的盖耳－曼－西岛法则。在此基础上日本物理学家坂田昌一在1955年提出了坂田模型，假定所有的强子都是由质子(p)、中子(n)和Λ 超子以及它们的反粒子组成的。正像忽略去质子和中子的差别以后核力和核子体系具有同位旋对称性[即 SU(2)对称性]一样，如果人们忽略Λ 粒子与核子之间的差异，而把它们看作同一粒子所处的三种不同状态，它们之间应具有SU(3)对称性，由它们所构成的强子体系也应具有SU(3)对称性。
按照李群的基本理论,SU(3)群的不可约表示可以用一对非负整数(λ，μ)来标志，记作D(λ，μ),通常用黑体的维数数字来代表，例如：
D(0,0)＝1，D(1,0)＝3，D(0,1)＝3*，D(1,1)＝8，
其中3*是3的共轭表示。
在SU(3)变换下,基本的(p，n，Λ)具有重子数N＝1，按基础表示3变换,相应的反粒子(圴，嬞，揈)具有重子数N＝-1，按共轭表示3*变换。按坂田模型,N＝0的介子由一对正反(p，n，Λ)组成，它们应按表示8和1变换。当时实验上已确认的赝标介子只有同位旋三重态的普通介子(π-,π0,π+)和两个同位旋双重态的奇异介子(K0，K+和K-,噖0),它们一共有七个。根据SU(3)对称性预言至少应当存在一个同位旋单态的普通介子，与上述七个粒子组成SU(3)八重态。不久果然在实验上发现了单态非奇异介子η(548)。与赝标介子的情形相似，先后在实验上发现的矢量介子ρ(ρ-，ρ0，ρ+)、K*(K*0, K*+；K*-,噖*0)、ω和嗞一共九个,适合于填充可约表示8)+1。可见,以坂田模型为基础的SU(3)对称方案很好地解释了介子的性质。
但是，坂田模型关于重子的分类方案却遇到了原则性的困难。例如，重子数N＝1超荷Y＝0的Σ超子三重态可能填充的不可约表示是6*或15。但6*中根本没有另一个超子(Y=-1的双重态)Ξ的位置；而15中虽然可以容纳Ξ超子，却还预言许多至今都没有任何迹象的空额粒子。
1961年在重新仔细分析实验资料的基础上,M.盖耳－曼和Y.奈曼提出了新的八重态分类方案（称为八重法），假定八个重子（N,Ξ,Σ和Λ）和八个赝标介子(K,噖,π和η)一样,属于不可约表示8。按照SU(3)群表示的乘法规则，主要衰变为一对赝标介子的矢量介子共振态和主要衰变为一个赝标介子和一个 重子的重子共振态都应当属于不可约表示27,10,10*,8或1。
根据实验分析,同坂田模型中一样,九个矢量介子填充可约表示8+1。自旋宇称为 的重子起初共发现九个，这就是非奇异的四重态Δ(1232)(Δ-，Δ0，Δ+,Δ++ )，超荷Y=0的三重态和Y＝-1的双重态Ξ*(1530)。在SU(3)群八重法分类方案中自然地把它们归入不可约表示10，但其中还要求存在一个新的Y=-2的同位旋单态稳定重子Ω-。根据表示中其他粒子的质量，理论预言Ω-的质量约为1675MeV。1964年，N.P.萨穆斯在实验上果然发现了这个粒子。以后,实验还测定了它的质量为1672.45±0.32MeV,自旋宇称为3+/2，它的主要弱衰变方式和寿命 (0.819±0.027)×10-10s，这些都与理论预言相符合。这是对SU(3)对称性八重态分类方案的强有力支持。
SU(3)对称性的主要结果 有以下几点。
①粒子填充和分类。现已确认的常见介子和重子在SU(3)对称性中按下述方式分类。
粒子符号后括弧中的数字是指该同位旋多重态质量平均值,以MeV为单位。每一组称为一个 SU(3)多重态。非单态粒子的填充情况可以用下图表示。
②质量关系。八重态对称性只是强相互作用的近似对称性,其表现之一是一个SU(3)多重态内各粒子的质量并不相等。分析表明，除了强相互作用的主要部分是在SU(3)不变的以外，还存在着较弱的中强相互作用,它在SU(3) 变换下的性质同八维正规表示中的超荷算符一样，由此可以得到一级近似下的质量公式，通常称为盖耳－曼－大久保公式。对于八维表示，此公式给出下述求和关系： （1a）
而对于十维表示，则给出等距规则： （1b）
式中 m是同位旋-超荷量子数为(I，Y)的状态的质量。实验上,对重子，式(la)两边的观察值的四分之一分别为1135MeV和1128MeV,故此式在0.6％的精度范围内成立。对重子,式(lb)中三个质量差分别是152、149和139MeV。
对于介子八重态，通常认为应用质量二次方代替式(la)中的质量，加上电荷共轭性质的考虑，可得
(1c)
对于赝标介子，用 K和 π的质量代入，推得，而mn=0.301GeV2，相差约6％，说明η介子与后来发现的第九个赝标介子 η′(958)有某些混合。对于矢量介子九重态,相应的两个(I，Y)=(0，0)的状态有较大的混合，有很多专门的讨论。
③磁矩关系。电荷算符在 SU(3)变换下的性质由盖耳－曼－西岛法则确定，由此可导得一个多重态内诸粒子磁矩的相互关系。例如： (2)
等等。用观察值代入，上三式分别是
2.793=2.379±0.020，
-1.1±0.05=-1.85±0.75，
-1.250±0.014=-1.913，
量级上是符合的。
④电磁质量差。由电荷算符的性质还可以导出一个同位旋多重态内不同电荷粒子质量的"超精细"分裂。对重子，可得到关系式： (3)
用观察质量代入,两边分别是6.65±0.09MeV和6.4±0.6MeV，符合得很好。
⑤强衰变宽度。按照SU(3)对称性，同一个SU(3)多重态内各个粒子看成同一粒子的不同内部态，因此各个粒子的相应衰变方式的几率之间就存在着一定的关系。
60年代前期,围绕着SU(3)对称性的理论预言和实验检验做了大量的工作。讨论了其他各种粒子的分类填充方案和质量关系，分析了强子的各种（包括强的和电磁的）衰变方式和衰变宽度，以及各种散射截面之间的关系，研究了强子的弱相互作用性质和选择规则等等。SU(3) 对称性理论的一系列推断和预言都同实验有较好的符合。大体说来，和粒子的静止性质（内部性质）相联系的那些理论预言同实验结果符合得较好一些，而对于那些同粒子的运动性质（外部性质）关系较密切的过程，情况要复杂一些，理论与实验的符合程度要差一些。
SU(3)对称性理论提供了一个可靠而有力的工具,对长期积累起来的丰富的实验资料作出了系统的分析，对数以百计的强子进行了贴切的分类，较成功地对这些粒子的基本属性（包括质量谱的规律性）作出了解释。从这个意义上说,强相互作用粒子的SU(3)对称性同化学元素的周期律十分相似。
SU(3)对称性和强子结构 关于强相互作用粒子,从一开始 SU(3)对称性的研究就是同强子结构的坂田模型紧密相关的。受到实验广泛支持的八重法正是从坂田模型中脱胎出来而又经过原则性的改造而得到的。另一方面，八重态有一个十分显著的特点：所有介子都仅仅填充1、8表示，这两个表示可以由基础表示3和3*的乘积组成，所有重子都仅仅填充8、10表示，它们可以由三个3表示的乘积组成,这一点启发盖耳-曼和G.兹韦克提出如下的假定：存在着具有分数重子数、分数电荷和分数超荷量子数的三种基础粒子(u，d,s)，称为夸克，它们按SU(3)群的基础表示3变换；一切强子都是由夸克及其反粒子组成的。介子由一对正反夸克组成，应属于表示8和1,重子由三个夸克组成,应属于表示10、8和1。强子之间的SU(3)对称性正是由夸克的基本SU(3)属性所决定的。这就是夸克模型。夸克模型成功地解释了强子的SU(3)对称性，并且导出了一系列新的结果,得到了实验的广泛支持。
由此可见，正像化学元素周期律反映了各种元素原子中电子排布的规律性,揭示了原子的内部结构一样,强相互作用的 SU(3)对称性深刻地反映了强子的内部结构特征。
说明：补充资料仅用于学习参考，请勿用于其它任何用途。
参考词条