补充资料：PI代数

PI代数
PI-algebra

　　令人感兴趣的问题是在哪些条件下，给定的特殊代数满足多项式恒等式. 群G在特征为零的域上的群代数(gro叩司罗-bm)F(G)满足某一多项式恒等式的充要条件是，G有一个指数有限的Abel子群如果F的特征是有限的并一且等于p，则F「G]是PJ代数，当且仅当G有一个指数有限的p一Abel子群(称一个群是p一Abd的(里互A比血n)，如果其换位子群是有限p群(护gro叩)). 特征为零的域F上的Lie代数L的泛包络代数(uni记rsalen记Iop哩a】罗腼)U:是PI代数，当且仅当L是Abe】的(即U。是交换的).如果F是一个特征有限的域，则U‘是一个PI代数，当且仅当L有一个余维数有限的Abel理想，而代数L的伴随表示的代数次数是有界的. 自由结合代数的所有PI子代数是交换的. PI代数的理论是交换代数的自然推广.它的深刻性和明确性与交换代数相类似，以致可以说成是非交换代数几何的结构. 域F上生成元为a，，…，a*的任何有限生成PI代数满足高的有界性条件(condi石onof切训山沮n已粥of helghts)，即存在生成元a:中的有限个字。:，…，气和一个正整数h，使得生成元“‘中的任何字“可在A中为表示为字 v贾‘，…v舒，‘的线性组合，这里d镬h，它们关于“。的组合与字。相同.在交换的情形下，生成元a‘本身可作为字v，.自由非交换仿射环(D代non一印n双nutati记二西11e ring)是一个商代数 鱿(F，k，。)=F[xl，…，x*」/M。，这里F卜l，一，x*〕是含有限个生成元x，的特征为零的域F上的自由代数，而M。是前面定义的矩阵代数F。的恒等式的T理想.代数级(F，k，n)是一个无零因子PI代数，并且具有经典分式除环D(F，k，n)，这个除环在其中心Z上是有限维的.进一步.设(凡)*是一个空间，它的元素是由代数凡的矩阵组成的长度为k的列.可以谈及级(F，k，n)的元素在(凡)*中的零点，(凡)*中的代数簇，等等，经典代数几何的基本假设成立.这样，H口比rt零点定理(见场伽时定理(Hilbert Ur习比m))的非交换形式成立.符合Noe廿ler条件的代数的准素理想对应于不可约代数簇.凡间1定理描述了代数纸(F，k，的的准素理想极大链的长度与Z在F上的超越次数的一致性，在这种情形下为 knZ一(n，一l)，与结合代数类似，可以利用自由代数的元素来定义含有自由代数的其他代数类(Lie代数，交错代数，等等)中的Pl代数. 特征为零的域上满足n次En罗1恒等式 lx，y，。

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