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1)  unary function
单和函数
2)  univalent compound harmonic functions
单叶复调和函数
3)  harmonic univalent functions
调和单叶函数
1.
A new class of Salagean-type harmonic univalent functions;
一类新的Salagean-type调和单叶函数
4)  harmonic univalent function
单叶调和函数
1.
Proof of a conjecture of harmonic univalent function;
单叶调和函数一个猜想的证明
5)  single-harmonic function
单值调和函数
6)  Curl-sum function)x(j
卷和函数
补充资料:应力函数和位移函数
      在弹性力学中,为方便求解,常把应力或位移用几个任意的或某种特殊类型的函数表示,这些函数通常叫作应力函数或位移函数。
  
  应力函数  最有名的应力函数是弹性力学平面问题中的艾里应力函数。如果没有体力,平面中的三个应力分量σxx、σyy、τxy满足下列方程:
  
  
   。
   (1)根据方程(1),可将应力分量用一个函数φ(x,y)表示为:
  
  。
   (2)φ便是艾里应力函数。对于均匀和各向同性的物体,φ是一个双调和函数,即它满足下列双调和方程:
  
  
  
  
  ΔΔφ=0,
  
  
  
  
   (3)式中是平面的拉普拉斯算符。引入φ后,平面问题原来的8个未知函数(两个位移分量、三个应变分量和三个应力分量σxx、σyy、τxy就归结为一个函数φ。这对求解具体问题很有好处。
  
  在弹性柱体的扭转问题中,剪应力分量τxz、τyz满足下列平衡方程:
  
  
  
   。
  
  
    (4)据此可将τxz、τyz用一个函数Ψ(x,y)表示为:
  
  
   。
  
  
   (5)Ψ称为普朗特应力函数。对于均匀和各向同性的柱体,Ψ满足下列方程:
  
  
  
  
   ΔΨ=-2Gθ,
  
  
  
   (6)式中G为材料的剪切模量(见材料的力学性能);θ为单位长度的扭转角。
  
  位移函数  在求解弹性力学的空间问题时,也可以用六个应力函数代替原来的六个应力分量,但好处不多。所以,一般多采用各种位移函数。对于均匀和各向同性弹性体,位移分量u1、u2、u3满足下列平衡方程:
  
   式中是空间中的拉普拉斯算符;ν为材料的泊松比;G为剪切模量;┃i为体力分量。方程(7)的解可以表达成多种形式。一种形式为: 式中ψ1、ψ2、ψ3、嫓四个函数满足下列方程:
  
   。 (9)函数ψ1、ψ2、ψ3、嫓称为布森涅斯克-帕普科维奇-纽勃位移函数。 弹性力学中许多空间问题的解都是从公式(8)推导出来的。
  
  方程(7)还有另一种形式的解,即
  
   式中Fi满足下列方程:
  
  
  
   。
  
  
  (11)函数F1、F2、F3称为布森涅斯克-索米利亚纳-伽辽金位移函数。对于回转体的轴对称问题,公式(10)可作许多简化。取对称轴为z轴(x3轴),记r为所考虑点到z轴的距离,并记位移在r、z轴上的投影分别为u、ω。若┃1=┃2=0,可取F1=F2=0,F3=F(r,z)。这样,由公式(10)可得到:
  
    ,
    (12)式中,即柱坐标中的拉普拉斯算符;F满足下列方程:
  
  
    
    。
  
  
    (13)
   公式(12)中的函数F称为乐甫位移函数。 在求解轴对称问题时,经常利用公式(12)。
  
  在┃1=┃2=0的情况下,即使不是轴对称问题,方程(7)的解也可用一组位移函数F、┃表示如下:
  
  
    式中F、┃满足下列方程:
  
  
  
   , Δ┃=0。
   (15)这组位移函数特别适用于求解无限体、半无限体和厚板等问题。
  

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